Номер 22.4, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.4. Выведите формулу радиуса сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, стороны основания которой равны $a$, а высота равна $h$.

Для вывода формулы радиуса вписанной сферы воспользуемся методом объемов. Радиус $r$ сферы, вписанной в многогранник, связан с объемом $V$ и полной площадью поверхности $S_{полн}$ этого многогранника соотношением: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$

Рассчитаем объем и площадь полной поверхности для заданной правильной четырехугольной пирамиды.

Дано:

Пирамида - правильная, четырехугольная.
Сторона основания - $a$.
Высота пирамиды - $h$.

Найти:

Радиус вписанной сферы - $r$.

Решение:

1. Найдем объем пирамиды ($V$).
Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной $a$. Площадь основания $S_{осн}$ равна:
$S_{осн} = a^2$
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} a^2 h$

2. Найдем площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$).
Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$
Боковая поверхность состоит из четырех равных равнобедренных треугольников. Для нахождения площади боковой поверхности нам нужна апофема пирамиды (высота боковой грани), обозначим ее $l$.
Апофему можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $h$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ и самой апофемой $l$ (которая является гипотенузой). По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$
$l = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{4h^2 + a^2}}{2}$
Площадь одной боковой грани равна:
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} a \frac{\sqrt{4h^2 + a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{4h^2 + a^2}}{4}$
Площадь всей боковой поверхности:
$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a\sqrt{4h^2 + a^2}}{4} = a\sqrt{4h^2 + a^2}$
Теперь найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + a\sqrt{4h^2 + a^2} = a(a + \sqrt{4h^2 + a^2})$

3. Найдем радиус вписанной сферы ($r$).
Подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в исходную формулу:
$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot (\frac{1}{3} a^2 h)}{a(a + \sqrt{4h^2 + a^2})} = \frac{a^2 h}{a(a + \sqrt{4h^2 + a^2})}$
Сократив $a$ в числителе и знаменателе, получаем искомую формулу:
$r = \frac{ah}{a + \sqrt{4h^2 + a^2}}$

Ответ: $r = \frac{ah}{a + \sqrt{4h^2 + a^2}}$