Номер 22.2, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.2. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную пирамиду, высота боковой грани которой равна 2 см, а радиус окружности, вписанной в ее основание, равен 1 см.

Дано:
Пирамида правильная
Высота боковой грани (апофема), $l = 2$ см
Радиус окружности, вписанной в основание, $r_{осн} = 1$ см

В системе СИ:
$l = 0.02$ м
$r_{осн} = 0.01$ м

Найти:
Радиус вписанной сферы, $R_{сф}$

Решение:
Центр вписанной в правильную пирамиду сферы лежит на ее высоте. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему боковой грани. Это сечение содержит прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $l$ и радиусом $r_{осн}$ вписанной в основание окружности.
Пусть $S$ - вершина пирамиды, $O$ - центр ее основания, а $M$ - точка касания вписанной в основание окружности со стороной основания. Тогда $SO = H$ - высота пирамиды, $OM = r_{осн}$ - радиус вписанной в основание окружности, а $SM = l$ - апофема (высота боковой грани).
Треугольник $\triangle SOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

1. Найдем высоту пирамиды $H$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOM$ по теореме Пифагора:
$SM^2 = SO^2 + OM^2$
$l^2 = H^2 + r_{осн}^2$
$H = \sqrt{l^2 - r_{осн}^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

2. Центр вписанной сферы (обозначим его точкой $I$) лежит на высоте пирамиды $SO$. По определению, центр вписанной сферы равноудален от всех граней пирамиды. Расстояние от центра $I$ до плоскости основания равно радиусу вписанной сферы $R_{сф}$. Расстояние от центра $I$ до плоскости боковой грани также равно $R_{сф}$.
Это означает, что точка $I$ лежит на биссектрисе двугранного угла при ребре основания. Линейным углом этого двугранного угла является угол $\angle SMO$.
Таким образом, центр сферы $I$ — это точка пересечения высоты $SO$ и биссектрисы угла $\angle SMO$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle IOM$, где $I$ — центр вписанной сферы. В этом треугольнике:
Катет $IO = R_{сф}$ (радиус вписанной сферы).
Катет $OM = r_{осн} = 1$ см.
Угол $\angle OMI$ равен половине угла $\angle SMO$.

4. Найдем тангенс угла $\angle SMO$ из треугольника $\triangle SOM$:
$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{r_{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
Отсюда следует, что $\angle SMO = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$.

5. Теперь найдем величину угла $\angle OMI$:
$\angle OMI = \frac{1}{2} \angle SMO = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

6. Из прямоугольного треугольника $\triangle IOM$ находим искомый радиус $R_{сф}$:
$\tan(\angle OMI) = \frac{IO}{OM} = \frac{R_{сф}}{r_{осн}}$
$R_{сф} = r_{осн} \cdot \tan(\angle OMI) = 1 \cdot \tan(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.