Номер 21.13, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21.13. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей.

Решение

Пусть даны две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Линия их пересечения — прямая $l$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от этих двух плоскостей. Пусть $M$ — произвольная точка, принадлежащая искомому ГМТ. По определению, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно расстоянию от точки $M$ до плоскости $\beta$. Обозначим эти расстояния как $d(M, \alpha)$ и $d(M, \beta)$. Таким образом, для любой точки $M$ из искомого ГМТ выполняется условие $d(M, \alpha) = d(M, \beta)$.

Рассмотрим произвольную точку $M$, удовлетворяющую этому условию. Проведем через точку $M$ плоскость $\gamma$, перпендикулярную прямой $l$. Пусть плоскость $\gamma$ пересекает прямую $l$ в точке $O$.

Плоскость $\gamma$ пересечет плоскости $\alpha$ и $\beta$ по двум прямым, которые мы обозначим $a$ и $b$ соответственно. Прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\gamma$ и пересекаются в точке $O$.

Докажем, что расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $a$ в плоскости $\gamma$. Расстояние $d(M, \alpha)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Расстояние от $M$ до прямой $a$ в плоскости $\gamma$ — это длина перпендикуляра $MP_a$, опущенного из $M$ на прямую $a$ в плоскости $\gamma$ ($P_a \in a$).

Так как плоскость $\gamma \perp l$ и прямая $l \subset \alpha$, то $l \perp MP_a$. Также, по построению, $MP_a \perp a$. Поскольку прямая $MP_a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($a$ и $l$) в плоскости $\alpha$, она перпендикулярна всей плоскости $\alpha$. Следовательно, $MP_a$ является перпендикуляром от точки $M$ к плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию от $M$ до $\alpha$. Таким образом, $d(M, \alpha) = |MP_a|$.

Аналогично доказывается, что расстояние от точки $M$ до плоскости $\beta$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $b$ в плоскости $\gamma$: $d(M, \beta) = |MP_b|$, где $MP_b$ — перпендикуляр, опущенный из $M$ на прямую $b$.

Таким образом, исходное условие $d(M, \alpha) = d(M, \beta)$ для точки $M$ в пространстве эквивалентно условию $|MP_a| = |MP_b|$ для точки $M$ в плоскости $\gamma$. Это означает, что в плоскости $\gamma$ точка $M$ равноудалена от двух пересекающихся прямых $a$ и $b$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. Эти две биссектрисы взаимно перпендикулярны.

Поскольку наш выбор точки $M$, а следовательно и плоскости $\gamma$, был произвольным (плоскость $\gamma$ может быть проведена перпендикулярно прямой $l$ в любой ее точке $O$), то искомое ГМТ в пространстве состоит из всех таких биссектрис для всех возможных секущих плоскостей $\gamma$. Объединение всех этих биссектрис образует две плоскости.

Эти две плоскости проходят через общую прямую $l$ пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и делят пополам двугранные углы, образованные этими плоскостями. Такие плоскости называются биссекторными плоскостями. Так как в каждой секущей плоскости $\gamma$ биссектрисы смежных углов перпендикулярны, то и две биссекторные плоскости будут взаимно перпендикулярны.

Следовательно, искомым геометрическим местом точек является пара взаимно перпендикулярных плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные данными плоскостями.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей, — это пара взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через линию пересечения данных плоскостей и делящих пополам двугранные углы, образованные этими плоскостями (биссекторные плоскости).