Номер 21.11, страница 127 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1 см. Найдите сторону основания этой призмы.

21.11. В правильную шестиугольную призму со стороной основания 1 см вписана сфера (рис. 21.6). Найдите высоту призмы.

Рис. 21.6

Дано

Правильная шестиугольная призма.

Сторона основания $a = 1$ см.

В призму вписана сфера.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.01$ м.

Найти:

$H$ – высота призмы.

Решение:

Так как сфера вписана в правильную шестиугольную призму, она касается всех граней призмы: верхнего и нижнего оснований, а также всех шести боковых граней.

1. Из условия, что сфера касается верхнего и нижнего оснований, следует, что расстояние между этими основаниями, то есть высота призмы $H$, равно диаметру вписанной сферы $D$.

$H = D = 2R$, где $R$ – радиус вписанной сферы.

2. Из условия, что сфера касается всех боковых граней призмы, следует, что сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы параллельно основаниям, представляет собой правильный шестиугольник, в который вписана большая окружность сферы (окружность с радиусом $R$).

Таким образом, радиус сферы $R$ равен радиусу $r$ окружности, вписанной в основание призмы (в правильный шестиугольник со стороной $a$).

3. Найдем радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник. Этот радиус равен апофеме правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Апофема шестиугольника является высотой одного из таких треугольников.

Высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по теореме Пифагора:

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, радиус вписанной окружности $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

4. Так как $R = r$, то $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны основания $a = 1$ см:

$R = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

5. Теперь найдем высоту призмы $H$:

$H = 2R = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $H = \sqrt{3}$ см.