Номер 22.1, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.1. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную пирамиду, высота которой равна 2 см, а радиус окружности, вписанной в ее основание, равен 1 см.

Дано:

Правильная пирамида

Высота пирамиды, $H = 2$ см

Радиус окружности, вписанной в основание, $r_{осн} = 1$ см

$H = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$r_{осн} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$.

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и апофему боковой грани. Это сечение содержит прямоугольный треугольник $SOM$, где $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр основания, а $M$ — точка касания вписанной в основание окружности со стороной основания. В этом треугольнике:

• $SO = H = 2$ см — высота пирамиды.

• $OM = r_{осн} = 1$ см — радиус окружности, вписанной в основание.

• $SM$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).

Треугольник $SOM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. По теореме Пифагора найдем длину апофемы $SM$:

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ см.

Центр вписанной в правильную пирамиду сферы (обозначим его точкой $I$) лежит на ее высоте $SO$. Радиус вписанной сферы $r$ — это расстояние от центра $I$ до основания и до каждой боковой грани. Следовательно, отрезок $IO$ равен радиусу сферы, $IO = r$. Расстояние от точки $I$ до боковой грани, содержащей апофему $SM$, также равно $r$. Это расстояние является длиной перпендикуляра $IK$, опущенного из точки $I$ на прямую $SM$, то есть $IK = r$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOM$ (с $\angle SOM = 90^\circ$) и $\triangle SIK$ (с $\angle SKI = 90^\circ$). Эти треугольники подобны, так как у них есть общий острый угол $\angle S$.

Из подобия треугольников $\triangle SIK$ и $\triangle SOM$ следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{IK}{OM} = \frac{SI}{SM}$

Подставим известные величины в данное соотношение:

• $IK = r$ (искомый радиус).

• $OM = 1$ см.

• $SM = \sqrt{5}$ см.

• $SI = SO - IO = H - r = 2 - r$.

Таким образом, получаем уравнение:

$\frac{r}{1} = \frac{2 - r}{\sqrt{5}}$

Решим это уравнение относительно $r$:

$r\sqrt{5} = 2 - r$

$r\sqrt{5} + r = 2$

$r(\sqrt{5} + 1) = 2$

$r = \frac{2}{\sqrt{5} + 1}$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5} - 1$:

$r = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Таким образом, радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ см.

Ответ: радиус сферы равен $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ см.