Номер 22.3, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.3. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную пирамиду,
высота которой равна 1 см, а высота боковой грани равна 2 см.

Дано:

Высота правильной пирамиды $H = 1$ см
Высота боковой грани (апофема) $h_a = 2$ см

$H = 0.01$ м
$h_a = 0.02$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, находится на её высоте. Для нахождения радиуса этой сферы рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через её высоту и апофему (высоту боковой грани). Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Круг, полученный в сечении сферы, будет вписан в этот треугольник, и его радиус будет равен радиусу $r$ вписанной сферы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, её апофемой $h_a$ и радиусом $r_{осн}$ окружности, вписанной в основание пирамиды. В этом треугольнике:

• $H$ - катет, равный высоте пирамиды.
• $r_{осн}$ - второй катет.
• $h_a$ - гипотенуза, равная апофеме.

По теореме Пифагора найдем $r_{осн}$:
$h_a^2 = H^2 + r_{осн}^2$
$r_{осн}^2 = h_a^2 - H^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
$r_{осн} = \sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим сечение пирамиды. Обозначим $S$ - вершину пирамиды, $O$ - центр основания, $M$ - середину стороны основания, к которой проведена апофема. Треугольник $SOM$ - это тот самый прямоугольный треугольник, который мы рассмотрели. $SO = H = 1$ см, $SM = h_a = 2$ см, $OM = r_{осн} = \sqrt{3}$ см.

Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $SO$. Радиус $r$ сферы является расстоянием от точки $I$ до основания (отрезок $IO$) и до боковой грани (перпендикуляр $IK$, опущенный на апофему $SM$). Таким образом, $IO = IK = r$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $SOM$ и $SIK$. Они подобны по общему острому углу $S$. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{IK}{OM} = \frac{SI}{SM}$

Подставим известные значения и выражения:

• $IK = r$
• $OM = \sqrt{3}$ см
• $SM = 2$ см
• $SI = SO - IO = H - r = 1 - r$

Получаем пропорцию:

$\frac{r}{\sqrt{3}} = \frac{1 - r}{2}$

Решим это уравнение относительно $r$:
$2r = \sqrt{3}(1 - r)$
$2r = \sqrt{3} - \sqrt{3}r$
$2r + \sqrt{3}r = \sqrt{3}$
$r(2 + \sqrt{3}) = \sqrt{3}$
$r = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на выражение $(2 - \sqrt{3})$:
$r = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{4 - 3} = 2\sqrt{3} - 3$

Ответ: $2\sqrt{3} - 3$ см.