Номер 22.8, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 22. Многогранники, описанные около сферы. Пирамида. Глава IV*. Вписанные и описанные многогранники - номер 22.8, страница 129.

Условие.

22.8. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, стороны основания которой равны 2 см, а высота равна 1 см.

22.9. Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр, ребро...

Решение 2 (rus).

Дано:

Правильная треугольная пирамида $SABC$.

Сторона основания $AB = BC = AC = a = 2$ см.

Высота пирамиды $SO = H = 1$ см.

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$H = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус вписанной сферы $r_{сф}$.

Решение:

Радиус сферы, вписанной в многогранник, можно найти по формуле, связывающей объем многогранника $V$ и площадь его полной поверхности $S_{полн}$:

$r_{сф} = \frac{3V}{S_{полн}}$

Для удобства будем производить вычисления в сантиметрах.

1. Найдем объем пирамиды $V$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H$

В основании пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a=2$ см. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a$:

$S_{осн} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Теперь найдем объем пирамиды, зная, что высота $H = 1$ см:

$V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

2. Найдем площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания $S_{осн}$ мы уже нашли: $S_{осн} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ состоит из трех одинаковых равнобедренных треугольников. $S_{бок} = 3 \cdot S_{грани}$, где $S_{грани}$ - площадь одной боковой грани.

$S_{грани} = \frac{1}{2} a \cdot L$, где $L$ - апофема (высота боковой грани).

Чтобы найти апофему, рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$, где $S$ - вершина пирамиды, $O$ - центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис), $M$ - середина стороны основания $BC$. Катет $SO$ - это высота пирамиды $H=1$ см. Катет $OM$ - это радиус вписанной в основание окружности $r_{осн}$. Гипотенуза $SM$ - это апофема $L$.

Найдем радиус вписанной в основание окружности:

$r_{осн} = OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $SOM$ найдем апофему $L$:

$L = SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{H^2 + r_{осн}^2}$

$L = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot L = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь полной поверхности равна:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной сферы $r_{сф}$.

Подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в формулу:

$r_{сф} = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ см.

Альтернативный метод (через подобие треугольников):

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему $SM$. Это прямоугольный треугольник $SOM$. Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $SO$. Сфера касается основания в точке $O$ и боковой грани $SBC$ в некоторой точке $K$ на апофеме $SM$. Расстояние от центра $I$ до апофемы $SM$ (перпендикуляр $IK$) и до основания $OM$ (отрезок $IO$) равно радиусу вписанной сферы $r_{сф}$.

Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники $\triangle SOM$ и $\triangle SIK$ (по общему острому углу $\angle OSM$).

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{IK}{OM} = \frac{SI}{SM}$

Здесь $IK = r_{сф}$, $OM = r_{осн} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см, $SM = L = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см, $SI = SO - IO = H - r_{сф} = 1 - r_{сф}$.

Подставляем значения в пропорцию:

$\frac{r_{сф}}{1/\sqrt{3}} = \frac{1 - r_{сф}}{2/\sqrt{3}}$

$r_{сф} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = (1 - r_{сф}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Умножим обе части на $\sqrt{3}$:

$2r_{сф} = 1 - r_{сф}$

$3r_{сф} = 1$

$r_{сф} = \frac{1}{3}$ см.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: $\frac{1}{3}$ см.