Номер 22.15, страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.15. Найдите радиус сферы, вписанной в октаэдр, ребра которого равны 1 см.

Дано:

Правильный октаэдр, ребро которого $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Радиус вписанной сферы $r_{in}$.

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Его можно представить как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями. Центр вписанной сферы совпадает с центром симметрии октаэдра.

Радиус вписанной сферы $r_{in}$ — это расстояние от центра октаэдра до центра любой его грани. Для нахождения этого расстояния рассмотрим сечение октаэдра, проходящее через вершину $T$ одной из пирамид, центр октаэдра $O$ и середину $M$ ребра основания этой пирамиды. Это сечение является прямоугольным треугольником $TMO$.

Пусть ребро октаэдра равно $a$.

1. Найдем длину катета $OM$. Точка $O$ является центром квадратного основания пирамиды. Точка $M$ — середина стороны этого квадрата. Следовательно, расстояние $OM$ равно половине стороны квадрата: $OM = a/2$.

2. Найдем длину катета $TO$. $TO$ — это высота одной из пирамид, составляющих октаэдр. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной $T$, центром $O$ и одной из вершин основания, например, $A$. Катет $OA$ — это половина диагонали квадрата со стороной $a$, то есть $OA = (a\sqrt{2})/2 = a/\sqrt{2}$. Гипотенуза $TA$ — это ребро октаэдра, равное $a$. По теореме Пифагора $TO^2 + OA^2 = TA^2$:
$TO^2 + (a/\sqrt{2})^2 = a^2$
$TO^2 = a^2 - a^2/2 = a^2/2$
$TO = \sqrt{a^2/2} = a/\sqrt{2}$.

3. Найдем длину гипотенузы $TM$. $TM$ — это высота (апофема) грани октаэдра. Так как грань является равносторонним треугольником со стороной $a$, ее высота равна $TM = (a\sqrt{3})/2$.

Радиус вписанной сферы $r_{in}$ является высотой в прямоугольном треугольнике $TMO$, опущенной из прямого угла $O$ на гипотенузу $TM$.

Площадь треугольника $TMO$ можно вычислить двумя способами:
$S_{\triangle TMO} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot TO$
$S_{\triangle TMO} = \frac{1}{2} \cdot TM \cdot r_{in}$

Приравняв правые части этих выражений, получим:
$OM \cdot TO = TM \cdot r_{in}$
Отсюда выразим радиус $r_{in}$:
$r_{in} = \frac{OM \cdot TO}{TM}$

Подставим найденные значения длин отрезков:
$r_{in} = \frac{(a/2) \cdot (a/\sqrt{2})}{(a\sqrt{3})/2} = \frac{a^2/(2\sqrt{2})}{a\sqrt{3}/2} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$

По условию задачи, длина ребра $a = 1$ см. Подставим это значение в формулу:
$r_{in} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ см.

Ответ: $r_{in} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ см.