Номер 22.12, страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.12. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, боковые ребра которой равны 1 см, и плоские углы при вершине равны $90^\circ$.

Дано:

Пирамида SABC - правильная треугольная.
Длина бокового ребра $l = 1$ см.
Плоские углы при вершине S: $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$.

Перевод в систему СИ:
$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.
Для удобства дальнейшие вычисления будут производиться в сантиметрах.

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$.

Решение:

Радиус сферы, вписанной в многогранник, можно найти по формуле: $r = \frac{3V}{S_{полн}}$, где $V$ — объём многогранника, а $S_{полн}$ — площадь его полной поверхности.

1. Найдём параметры пирамиды.
Пусть S - вершина пирамиды, а ABC - её основание. Боковые рёбра SA, SB, SC равны 1 см. Так как плоские углы при вершине равны $90^\circ$, боковые грани (SAB, SBC, SCA) являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Сторона основания, например AB, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике SAB. По теореме Пифагора: $a^2 = AB^2 = SA^2 + SB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда сторона основания $a = \sqrt{2}$ см. Поскольку пирамида правильная, её основание — равносторонний треугольник ABC со стороной $a = \sqrt{2}$ см.

2. Вычислим площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$).
Полная поверхность состоит из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.
Площадь основания (равностороннего треугольника): $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см².

Площадь одной боковой грани (равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 1 см): $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см².
Так как боковых граней три, площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ см².
Площадь полной поверхности пирамиды: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ см².

3. Вычислим объём пирамиды ($V$).
Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $H$ - высота пирамиды.
Пусть O - центр основания ABC. Тогда высота пирамиды $H = SO$. В правильной треугольной пирамиде вершина проецируется в центр основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. Гипотенуза SA = 1 см. Катет AO является радиусом описанной около основания окружности ($R_{осн}$). $R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см.

По теореме Пифагора для треугольника SOA: $H^2 = SO^2 = SA^2 - AO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. $H = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.
Теперь можем найти объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$ см³.

4. Найдём радиус вписанной сферы ($r$).
Подставим найденные значения $V$ и $S_{полн}$ в формулу для радиуса: $r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3 + \sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $(3 - \sqrt{3})$: $r = \frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ см.

Ответ: $r = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ см.