Номер 22.13, страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.13. Основанием четырехугольной пирамиды является ромб, стороны которого равны 1 см, а острый угол равен $60^\circ$. Высота этой пирамиды равна 1 см и ее основанием является точка пересечения диагоналей ромба. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду.

Дано:

Пирамида $SABCD$, где $ABCD$ - ромб.
Сторона ромба $a = 1$ см.
Острый угол ромба $\alpha = 60^\circ$.
Высота пирамиды $H = 1$ см.
Основание высоты - точка пересечения диагоналей ромба $O$.

Перевод в СИ:
$a = 0.01$ м.
$H = 0.01$ м.
(Для удобства вычислений будем использовать сантиметры, так как итоговый результат не зависит от выбора единиц измерения в данном случае).

Найти:

Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Поскольку высота пирамиды проходит через центр ромба (точку пересечения диагоналей), данная пирамида является правильной. Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды.

1. Найдем площадь основания (ромба).
Площадь ромба вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ - сторона ромба, $\alpha$ - угол между сторонами.
$S_{осн} = 1^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

2. Найдем радиус окружности, вписанной в ромб ($r_{осн}$).
Высота ромба $h_{ромба}$ связана с его площадью и стороной: $S_{осн} = a \cdot h_{ромба}$.
$h_{ромба} = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:
$r_{осн} = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{\sqrt{3}/2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.

3. Найдем апофему (высоту боковой грани) пирамиды $h_s$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной в основание окружности $r_{осн}$ и апофемой $h_s$ (которая является гипотенузой). По теореме Пифагора:
$h_s^2 = H^2 + r_{осн}^2$
$h_s^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = 1 + \frac{3}{16} = \frac{16+3}{16} = \frac{19}{16}$
$h_s = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$ см.

4. Найдем радиус вписанной сферы $r$.
Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофему. Это равнобедренный треугольник с основанием $2r_{осн}$ и высотой $H$. Центр вписанной сферы лежит на высоте этого сечения (т.е. на высоте пирамиды) и является центром окружности, вписанной в это сечение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H=SO$, радиусом вписанной окружности в основание $r_{осн}=OK$ и апофемой $h_s=SK$. Центр вписанной сферы $I$ лежит на высоте $SO$. Расстояние от центра $I$ до основания равно $r$, и расстояние от $I$ до боковой грани (т.е. до апофемы $SK$) также равно $r$.
Треугольник $\Delta SOK$ подобен треугольнику $\Delta SIL$ (где $IL \perp SK$ и $IL = r$).
Из подобия треугольников следует соотношение:
$\frac{IL}{OK} = \frac{SI}{SK}$
Здесь $IL = r$, $OK = r_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4}$, $SK = h_s = \frac{\sqrt{19}}{4}$, а $SI = SO - IO = H - r = 1 - r$.
Подставим значения в пропорцию:
$\frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{1-r}{\frac{\sqrt{19}}{4}}$
$r \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = (1-r) \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$
Умножим обе части на 4:
$r\sqrt{19} = (1-r)\sqrt{3}$
$r\sqrt{19} = \sqrt{3} - r\sqrt{3}$
$r\sqrt{19} + r\sqrt{3} = \sqrt{3}$
$r(\sqrt{19} + \sqrt{3}) = \sqrt{3}$
$r = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19} + \sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{19} - \sqrt{3})$:
$r = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{19} - \sqrt{3})}{(\sqrt{19} + \sqrt{3})(\sqrt{19} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{19} - \sqrt{3}\sqrt{3}}{(\sqrt{19})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{57} - 3}{19 - 3} = \frac{\sqrt{57} - 3}{16}$ см.

Ответ: $r = \frac{\sqrt{57} - 3}{16}$ см.