Номер 22.11, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.11. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см.

Дано:

Пирамида — правильная шестиугольная.

Сторона основания, $a = 1$ см

Высота пирамиды, $H = 2$ см

$a = 0.01$ м

$H = 0.02$ м

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$.

Решение:

Радиус сферы, вписанной в правильную пирамиду, можно найти через осевое сечение. Центр вписанной сферы лежит на высоте пирамиды. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через высоту пирамиды $SO$ и апофему боковой грани $SK$, где $S$ – вершина пирамиды, $O$ – центр основания, а $K$ – середина стороны основания.

Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, образованный двумя апофемами противоположных боковых граней и отрезком, соединяющим их основания. Радиус вписанной сферы равен радиусу окружности, вписанной в этот равнобедренный треугольник.

1. Найдем апофему основания. В основании лежит правильный шестиугольник. Апофема основания (расстояние от центра до стороны) $OK$ равна радиусу вписанной в шестиугольник окружности и вычисляется по формуле:

$OK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставляя значение $a=1$ см, получаем:

$OK = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см

2. Найдем апофему боковой грани пирамиды $SK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$, где $SO=H=2$ см, а $OK = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. По теореме Пифагора:

$SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{2^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{16+3}{4}} = \sqrt{\frac{19}{4}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$ см

3. Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник, являющийся осевым сечением. Его основание равно удвоенной апофеме основания пирамиды, т.е. $2 \cdot OK = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см. Боковые стороны равны апофеме пирамиды $SK = \frac{\sqrt{19}}{2}$ см. Высота этого треугольника равна высоте пирамиды $H=2$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в этот треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{A}{s}$, где $A$ – площадь треугольника, а $s$ – его полупериметр.

Вычислим площадь треугольника $A$:

$A = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot OK) \cdot H = OK \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$ см$^2$

Вычислим полупериметр $s$:

$s = \frac{SK + SK + (2 \cdot OK)}{2} = \frac{\frac{\sqrt{19}}{2} + \frac{\sqrt{19}}{2} + \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{19} + \sqrt{3}}{2}$ см

Теперь найдем радиус вписанной сферы $r$:

$r = \frac{A}{s} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{19} + \sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19} + \sqrt{3}}$ см

4. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{19} - \sqrt{3})$:

$r = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{19} - \sqrt{3})}{(\sqrt{19} + \sqrt{3})(\sqrt{19} - \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt{19} - 2\sqrt{3}\sqrt{3}}{19 - 3} = \frac{2\sqrt{57} - 6}{16} = \frac{2(\sqrt{57} - 3)}{16} = \frac{\sqrt{57} - 3}{8}$ см

Ответ: радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{57} - 3}{8}$ см.