Номер 22.7, страница 129 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22.7. Выведите формулу радиуса сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, стороны основания которой равны $a$, а высота равна $h$.

Дано:

Правильная треугольная пирамида

Сторона основания = $a$

Высота пирамиды = $h$

Найти:

Формулу для радиуса вписанной сферы $r$.

Решение:

Центр вписанной в правильную пирамиду сферы лежит на ее высоте. Обозначим пирамиду $SABC$, где $ABC$ – основание, а $S$ – вершина. $SO=h$ – высота пирамиды, $O$ – центр основания.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту $SO$ и апофему основания $OM$, где $M$ – середина стороны основания $BC$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$.

1. Найдем длину апофемы основания $OM$. Основание $ABC$ – равносторонний треугольник со стороной $a$. $OM$ является радиусом вписанной в основание окружности. Высота равностороннего треугольника равна $a\sqrt{3}/2$. Центр $O$ делит медиану (она же высота) в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, радиус вписанной окружности:

$OM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

2. Найдем длину апофемы боковой грани $SM$ (также называемой высотой боковой грани). В прямоугольном треугольнике $SOM$ по теореме Пифагора:

$SM^2 = SO^2 + OM^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = h^2 + \frac{3a^2}{36} = h^2 + \frac{a^2}{12}$

$SM = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

3. Центр вписанной сферы $O_с$ лежит на высоте $SO$. Расстояние от центра $O_с$ до плоскости основания равно радиусу вписанной сферы $r$. Также расстояние от $O_с$ до любой боковой грани равно $r$.

В нашем сечении, треугольнике $SOM$, центр $O_с$ лежит на катете $SO$. Расстояние от $O_с$ до катета $OM$ (лежащего в плоскости основания) равно $r$, то есть $O_сO = r$. Расстояние от $O_с$ до гипотенузы $SM$ (лежащей в плоскости боковой грани) также равно $r$.

Рассмотрим подобные треугольники. Проведем из точки $O_с$ перпендикуляр $O_сP$ к апофеме $SM$. $O_сP = r$. Прямоугольные треугольники $SPO_с$ и $SOM$ подобны по общему острому углу $S$.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{SO_с}{SM} = \frac{O_сP}{OM}$

Подставим известные величины:

$SO_с = SO - O_сO = h - r$

$O_сP = r$

$OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

$SM = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

Получаем уравнение:

$\frac{h - r}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}} = \frac{r}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}$

4. Решим это уравнение относительно $r$:

$(h-r) \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = r \cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

$\frac{ha\sqrt{3}}{6} - r\frac{a\sqrt{3}}{6} = r \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}}$

$\frac{ha\sqrt{3}}{6} = r \left( \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} + \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)$

$r = \frac{\frac{ha\sqrt{3}}{6}}{\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} + \frac{a\sqrt{3}}{6}}$

Умножим числитель и знаменатель на 6, чтобы избавиться от дробей:

$r = \frac{ha\sqrt{3}}{6\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} + a\sqrt{3}}$

Внесем 6 под корень в знаменателе:

$6\sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} = \sqrt{36\left(h^2 + \frac{a^2}{12}\right)} = \sqrt{36h^2 + 3a^2}$

$r = \frac{ha\sqrt{3}}{\sqrt{36h^2 + 3a^2} + a\sqrt{3}}$

Вынесем $\sqrt{3}$ за скобку в знаменателе:

$\sqrt{36h^2 + 3a^2} = \sqrt{3(12h^2 + a^2)} = \sqrt{3}\sqrt{12h^2 + a^2}$

$r = \frac{ha\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{12h^2 + a^2} + a\sqrt{3}} = \frac{ha\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{12h^2 + a^2} + a)}$

Сократив на $\sqrt{3}$, получаем окончательную формулу:

$r = \frac{ha}{a + \sqrt{12h^2 + a^2}}$

Ответ: $r = \frac{ha}{a + \sqrt{12h^2 + a^2}}$