Номер 5, страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите высоту конуса, описанного около правильной четырех-угольной пирамиды, все ребра которой равны 2 см:

A) 1 см;

B) $ \sqrt{2} $ см;

C) $ \sqrt{3} $ см;

D) $ 2\sqrt{3} $ см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида, вписанная в конус.

Длина всех ребер пирамиды $l = 2$ см.

Найти:

Высоту конуса $H_{конуса}$.

Решение:

Поскольку конус описан около правильной четырехугольной пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды (квадрат) вписано в основание конуса (окружность). Это означает, что высота конуса $H_{конуса}$ равна высоте пирамиды $H_{пирамиды}$.

Найдем высоту правильной четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны 2 см. Пусть $SABCD$ — данная пирамида, где $ABCD$ — квадратное основание со стороной $a=2$ см, а $S$ — вершина. Боковые ребра $SA=SB=SC=SD$ также равны 2 см.

Высота пирамиды $SO$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $S$ на плоскость основания. В правильной пирамиде точка $O$ является центром основания, то есть точкой пересечения диагоналей квадрата $AC$ и $BD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOC$. Гипотенуза в этом треугольнике — боковое ребро $SC=2$ см. Один катет — это высота пирамиды $SO=H_{пирамиды}$, а второй катет — это отрезок $OC$, равный половине диагонали основания $AC$.

Сначала найдем длину диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.

Тогда диагональ $AC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Отрезок $OC$ равен половине диагонали:

$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь найдем высоту $SO$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOC$ по теореме Пифагора:

$SC^2 = SO^2 + OC^2$

$SO^2 = SC^2 - OC^2$

Подставим известные значения:

$SO^2 = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$

$SO = \sqrt{2}$ см.

Высота пирамиды равна $H_{пирамиды} = \sqrt{2}$ см. Следовательно, высота конуса также равна $\sqrt{2}$ см.

Ответ: $\sqrt{2}$ см.