Номер 11, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Где находится центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, основанием которой является треугольник, стороны которого равны 3 см, 4 см, 5 см:

A) внутри пирамиды;

B) на грани пирамиды;

C) на ребре пирамиды;

D) вне пирамиды?

Дано:

Многогранник: прямая треугольная призма.
Стороны основания: $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см.

В системе СИ:

$a = 0.03$ м
$b = 0.04$ м
$c = 0.05$ м

Найти:

Где находится центр сферы, описанной около призмы.

Решение:

1. Сначала определим тип треугольника, лежащего в основании призмы. Для этого проверим, удовлетворяют ли длины его сторон теореме Пифагора.

Возьмем стороны $a = 3$ см и $b = 4$ см в качестве катетов, а сторону $c = 5$ см в качестве гипотенузы.

Сумма квадратов катетов: $a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Квадрат гипотенузы: $c^2 = 5^2 = 25$.

Так как $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник в основании является прямоугольным.

2. Центр сферы, описанной около любой прямой призмы, находится на середине высоты, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы.

3. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности всегда находится в середине его гипотенузы.

4. Следовательно, для данной призмы центры описанных окружностей для нижнего и верхнего оснований лежат на серединах гипотенуз (сторон длиной 5 см).

5. Эти гипотенузы являются ребрами оснований призмы. Боковая грань призмы, которая проходит через эти два ребра-гипотенузы, является прямоугольником. Отрезок, соединяющий середины этих гипотенуз, лежит целиком в этой боковой грани.

6. Центр описанной сферы, который является серединой этого отрезка, также будет лежать на этой боковой грани.

Таким образом, центр сферы находится на грани призмы.

(Примечание: в вариантах ответа, вероятно, допущена опечатка, и вместо "пирамиды" должно быть "призмы", так как в условии задачи речь идет о призме).

Ответ: B) на грани призмы.