Номер 14, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Где находится центр сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, ребра которой равны 3 см:

A) внутри пирамиды;

B) на боковой грани пирамиды;

C) на основании пирамиды;

D) вне пирамиды?

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны: $a = 3 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$.

Найти:

Местоположение центра сферы, описанной около пирамиды.

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина пирамиды. По условию, все ребра пирамиды равны. Обозначим длину ребра через $a$. Таким образом, сторона основания равна $a$, и каждое боковое ребро также равно $a$. В данном случае $a = 3$ см.

Центр описанной сферы — это точка, равноудаленная от всех вершин пирамиды. В правильной пирамиде центр описанной сферы всегда лежит на ее высоте. Обозначим высоту $SO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$).

Найдем высоту пирамиды $h = SO$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Катет $OA$ является половиной диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.

Следовательно, длина отрезка $OA$ равна:

$OA = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Гипотенуза $SA$ в треугольнике $SOA$ — это боковое ребро пирамиды, длина которого по условию равна $a$. Применим теорему Пифагора для треугольника $SOA$ ($SA^2 = SO^2 + OA^2$):

$a^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$a^2 = h^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4}$

$a^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$

Выразим отсюда квадрат высоты $h^2$:

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$

Тогда высота $h$ равна:

$h = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Теперь сравним найденную высоту $h = SO$ с половиной диагонали основания $OA$:

$h = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ и $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Мы видим, что $h = OA$.

Центр описанной сферы $K$ должен быть равноудален от всех вершин. Расстояния от центра основания $O$ до вершин основания равны:

$OA = OB = OC = OD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Расстояние от центра основания $O$ до вершины пирамиды $S$ равно высоте:

$OS = h = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Поскольку $OA = OB = OC = OD = OS$, точка $O$ (центр основания) равноудалена от всех пяти вершин пирамиды. Следовательно, точка $O$ и является центром описанной сферы.

Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$, который является основанием пирамиды. Значит, центр описанной сферы находится на основании пирамиды.

Ответ:

C) на основании пирамиды.