Номер 20, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр, ребра которого равны 4 см:

A) $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см;

B) $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см;

C) $\frac{\sqrt{6}}{4}$ см;

D) $\frac{\sqrt{6}}{6}$ см.

Дано:

Правильный тетраэдр

Длина ребра $a = 4$ см

Перевод в СИ:

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

$r$ — радиус вписанной сферы.

Решение:

Для нахождения радиуса сферы, вписанной в правильный тетраэдр, можно использовать готовую формулу или вывести ее. Продемонстрируем вывод формулы через высоту тетраэдра.

Центр вписанной сферы в правильном тетраэдре совпадает с его центроидом — точкой пересечения высот. Центроид делит каждую высоту в отношении 3:1, считая от вершины.

Радиус вписанной сферы $r$ равен расстоянию от центра до любой грани, что составляет одну четвертую часть от высоты тетраэдра $H$.

$r = \frac{1}{4}H$

Найдем высоту тетраэдра $H$. Высота, опущенная из вершины тетраэдра на основание (которое является равносторонним треугольником), образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является ребро тетраэдра $a$, одним катетом — высота $H$, а вторым катетом — радиус $R$ окружности, описанной около основания.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

$H^2 + R^2 = a^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2 \cdot 3}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Теперь можем найти радиус вписанной сферы $r$:

$r = \frac{1}{4}H = \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$

Подставим в полученную формулу заданное значение длины ребра $a = 4$ см:

$r = \frac{4\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Полученный результат соответствует варианту B).

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см.