Задания, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что площади поверхностей двух подобных многогранников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Проверьте, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как квадрат коэффициента подобия.

Проверьте, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как куб коэффициента подобия.

Докажите, что площади поверхностей двух подобных многогранников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Решение:

Пусть даны два подобных многогранника $P_1$ и $P_2$. Коэффициент подобия равен $k$. Это означает, что все соответствующие линейные размеры многогранника $P_2$ в $k$ раз больше соответствующих линейных размеров многогранника $P_1$.

Поверхность каждого многогранника состоит из конечного числа граней, которые являются многоугольниками. Пусть грани многогранника $P_1$ это $F_{1,1}, F_{1,2}, \dots, F_{1,n}$, а соответствующие им грани многогранника $P_2$ это $F_{2,1}, F_{2,2}, \dots, F_{2,n}$.

Из подобия многогранников следует, что их соответствующие грани также подобны, и коэффициент подобия для каждой пары соответствующих граней $F_{1,i}$ и $F_{2,i}$ равен $k$.

Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, для каждой пары соответствующих граней выполняется соотношение:

$\frac{S(F_{2,i})}{S(F_{1,i})} = k^2$, где $S(F)$ — площадь грани $F$.

Отсюда $S(F_{2,i}) = k^2 \cdot S(F_{1,i})$.

Площадь полной поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней. Обозначим площади поверхностей многогранников $P_1$ и $P_2$ как $S_1$ и $S_2$ соответственно.

$S_1 = \sum_{i=1}^{n} S(F_{1,i})$

$S_2 = \sum_{i=1}^{n} S(F_{2,i})$

Найдем отношение площадей поверхностей $S_2$ и $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\sum_{i=1}^{n} S(F_{2,i})}{\sum_{i=1}^{n} S(F_{1,i})} = \frac{\sum_{i=1}^{n} k^2 \cdot S(F_{1,i})}{\sum_{i=1}^{n} S(F_{1,i})} = \frac{k^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} S(F_{1,i})}{\sum_{i=1}^{n} S(F_{1,i})} = k^2$

Таким образом, отношение площадей поверхностей двух подобных многогранников равно квадрату коэффициента подобия, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение площадей поверхностей двух подобных многогранников равно $k^2$.

Проверьте, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как квадрат коэффициента подобия.

Решение:

Рассмотрим два шара. Любые два шара подобны. Пусть радиусы этих шаров равны $R_1$ и $R_2$.

Коэффициент подобия $k$ для этих шаров равен отношению их радиусов: $k = \frac{R_2}{R_1}$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

Найдем площади поверхностей первого и второго шаров:

$S_1 = 4\pi R_1^2$

$S_2 = 4\pi R_2^2$

Теперь найдем отношение площадей поверхностей этих двух шаров:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = (\frac{R_2}{R_1})^2$

Так как $k = \frac{R_2}{R_1}$, мы можем подставить это в полученное выражение:

$\frac{S_2}{S_1} = k^2$

Таким образом, мы проверили, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как квадрат коэффициента подобия.

Ответ: Проверка подтвердила, что отношение площадей поверхностей двух шаров равно квадрату коэффициента подобия $k^2$.

Проверьте, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как куб коэффициента подобия.

Решение:

Рассмотрим два подобных прямоугольных параллелепипеда. Пусть измерения (длина, ширина, высота) первого параллелепипеда равны $a_1, b_1, c_1$, а второго — $a_2, b_2, c_2$.

Так как параллелепипеды подобны с коэффициентом подобия $k$, то отношение их соответствующих линейных размеров равно $k$:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

Отсюда следует, что $a_2 = k \cdot a_1$, $b_2 = k \cdot b_1$, $c_2 = k \cdot c_1$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Найдем объемы первого и второго параллелепипедов:

$V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$

$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2$

Теперь найдем отношение объемов этих двух параллелепипедов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{a_2 \cdot b_2 \cdot c_2}{a_1 \cdot b_1 \cdot c_1}$

Подставим выражения для $a_2, b_2, c_2$ через $a_1, b_1, c_1$ и $k$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{(k \cdot a_1) \cdot (k \cdot b_1) \cdot (k \cdot c_1)}{a_1 \cdot b_1 \cdot c_1} = \frac{k^3 \cdot a_1 \cdot b_1 \cdot c_1}{a_1 \cdot b_1 \cdot c_1} = k^3$

Таким образом, мы проверили, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как куб коэффициента подобия.

Ответ: Проверка подтвердила, что отношение объемов двух подобных прямоугольных параллелепипедов равно кубу коэффициента подобия $k^3$.