Вопросы, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какой величине аналогичен объем?

2. Что принимается за единицу измерения объема?

3. Перечислите свойства объема.

4. Какие фигуры в пространстве называются равновеликими?

5. Какое преобразование пространства называется подобием?

6. Какие фигуры в пространстве называются подобными?

7. Как связаны между собой объемы подобных фигур?

8. Приведите примеры подобных пространственных фигур.

1. Какой величине аналогичен объем?
Объем, как характеристика пространственного тела, является аналогом понятия площади для плоской фигуры. Если площадь измеряет, какую часть плоскости занимает фигура, то объем измеряет, какую часть пространства занимает тело. Таким образом, объем в стереометрии (геометрии в пространстве) играет ту же роль, что и площадь в планиметрии (геометрии на плоскости).
Ответ: Объём аналогичен площади.

2. Что принимается за единицу измерения объема?
За единицу измерения объема принимается объем куба, ребро которого равно единице длины. Такой куб называется единичным. В зависимости от выбранной единицы длины (метр, сантиметр, миллиметр и т.д.), единицей объема будет соответственно кубический метр ($м^3$), кубический сантиметр ($см^3$), кубический миллиметр ($мм^3$) и так далее.
Ответ: За единицу измерения объема принимается объем единичного куба (куба, ребро которого равно единице длины).

3. Перечислите свойства объема.
Основные свойства объема геометрических тел:
1. Неотрицательность. Объем любого тела есть неотрицательное число.
2. Инвариантность при перемещении (свойство равных тел). Равные тела имеют равные объемы.
3. Аддитивность. Если тело составлено из нескольких тел, которые не имеют общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.
4. Нормированность. Объем единичного куба (куба с ребром, равным единице длины) равен единице.
Ответ: 1. Объем любого тела — неотрицательное число. 2. Равные тела имеют равные объемы. 3. Объем тела, составленного из нескольких тел, равен сумме их объемов.

4. Какие фигуры в пространстве называются равновеликими?
Равновеликими в пространстве называются такие геометрические тела (фигуры), которые имеют равные объемы. При этом форма этих тел может быть совершенно различной. Например, шар и куб могут быть равновеликими, если их объемы совпадают.
Ответ: Равновеликими называются фигуры, имеющие равные объемы.

5. Какое преобразование пространства называется подобием?
Подобием (или преобразованием подобия) с коэффициентом $k > 0$ называется такое преобразование пространства, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в $k$ раз. То есть, если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$, то длина отрезка $A'B'$ равна $k$, умноженному на длину отрезка $AB$: $|A'B'| = k \cdot |AB|$. Подобие сохраняет форму фигур, но изменяет их размеры.
Ответ: Преобразование пространства, при котором все расстояния между точками изменяются в одно и то же положительное число раз (коэффициент подобия).

6. Какие фигуры в пространстве называются подобными?
Две фигуры в пространстве называются подобными, если одна из них может быть получена из другой путем преобразования подобия. Это означает, что для любых двух соответствующих точек одной и другой фигуры отношение расстояний между ними является постоянной величиной (коэффициентом подобия), а все соответствующие углы равны.
Ответ: Фигуры, которые можно совместить преобразованием подобия.

7. Как связаны между собой объемы подобных фигур?
Отношение объемов двух подобных пространственных фигур равно кубу коэффициента подобия. Если две фигуры $F_1$ и $F_2$ подобны с коэффициентом подобия $k$, то отношение их объемов $V_1$ и $V_2$ определяется соотношением: $\frac{V_2}{V_1} = k^3$.
Ответ: Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия.

8. Приведите примеры подобных пространственных фигур.
Примерами подобных фигур в пространстве являются:

• любые два куба;
• любые два шара;
• любые два правильных многогранника одного вида (например, два правильных тетраэдра или два икосаэдра);
• два конуса, если у них равны углы при вершине осевого сечения;
• две модели одного и того же автомобиля, выполненные в разных масштабах.