Страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что площади поверхностей двух подобных многогранников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Проверьте, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как квадрат коэффициента подобия.

Проверьте, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как куб коэффициента подобия.

Докажите, что площади поверхностей двух подобных многогранников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Решение:

Пусть даны два подобных многогранника $P_1$ и $P_2$. Коэффициент подобия равен $k$. Это означает, что все соответствующие линейные размеры многогранника $P_2$ в $k$ раз больше соответствующих линейных размеров многогранника $P_1$.

Поверхность каждого многогранника состоит из конечного числа граней, которые являются многоугольниками. Пусть грани многогранника $P_1$ это $F_{1,1}, F_{1,2}, \dots, F_{1,n}$, а соответствующие им грани многогранника $P_2$ это $F_{2,1}, F_{2,2}, \dots, F_{2,n}$.

Из подобия многогранников следует, что их соответствующие грани также подобны, и коэффициент подобия для каждой пары соответствующих граней $F_{1,i}$ и $F_{2,i}$ равен $k$.

Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, для каждой пары соответствующих граней выполняется соотношение:

$\frac{S(F_{2,i})}{S(F_{1,i})} = k^2$, где $S(F)$ — площадь грани $F$.

Отсюда $S(F_{2,i}) = k^2 \cdot S(F_{1,i})$.

Площадь полной поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней. Обозначим площади поверхностей многогранников $P_1$ и $P_2$ как $S_1$ и $S_2$ соответственно.

$S_1 = \sum_{i=1}^{n} S(F_{1,i})$

$S_2 = \sum_{i=1}^{n} S(F_{2,i})$

Найдем отношение площадей поверхностей $S_2$ и $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\sum_{i=1}^{n} S(F_{2,i})}{\sum_{i=1}^{n} S(F_{1,i})} = \frac{\sum_{i=1}^{n} k^2 \cdot S(F_{1,i})}{\sum_{i=1}^{n} S(F_{1,i})} = \frac{k^2 \cdot \sum_{i=1}^{n} S(F_{1,i})}{\sum_{i=1}^{n} S(F_{1,i})} = k^2$

Таким образом, отношение площадей поверхностей двух подобных многогранников равно квадрату коэффициента подобия, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение площадей поверхностей двух подобных многогранников равно $k^2$.

Проверьте, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как квадрат коэффициента подобия.

Решение:

Рассмотрим два шара. Любые два шара подобны. Пусть радиусы этих шаров равны $R_1$ и $R_2$.

Коэффициент подобия $k$ для этих шаров равен отношению их радиусов: $k = \frac{R_2}{R_1}$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.

Найдем площади поверхностей первого и второго шаров:

$S_1 = 4\pi R_1^2$

$S_2 = 4\pi R_2^2$

Теперь найдем отношение площадей поверхностей этих двух шаров:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = (\frac{R_2}{R_1})^2$

Так как $k = \frac{R_2}{R_1}$, мы можем подставить это в полученное выражение:

$\frac{S_2}{S_1} = k^2$

Таким образом, мы проверили, что площади поверхностей двух подобных шаров относятся как квадрат коэффициента подобия.

Ответ: Проверка подтвердила, что отношение площадей поверхностей двух шаров равно квадрату коэффициента подобия $k^2$.

Проверьте, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как куб коэффициента подобия.

Решение:

Рассмотрим два подобных прямоугольных параллелепипеда. Пусть измерения (длина, ширина, высота) первого параллелепипеда равны $a_1, b_1, c_1$, а второго — $a_2, b_2, c_2$.

Так как параллелепипеды подобны с коэффициентом подобия $k$, то отношение их соответствующих линейных размеров равно $k$:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

Отсюда следует, что $a_2 = k \cdot a_1$, $b_2 = k \cdot b_1$, $c_2 = k \cdot c_1$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Найдем объемы первого и второго параллелепипедов:

$V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot c_1$

$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2$

Теперь найдем отношение объемов этих двух параллелепипедов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{a_2 \cdot b_2 \cdot c_2}{a_1 \cdot b_1 \cdot c_1}$

Подставим выражения для $a_2, b_2, c_2$ через $a_1, b_1, c_1$ и $k$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{(k \cdot a_1) \cdot (k \cdot b_1) \cdot (k \cdot c_1)}{a_1 \cdot b_1 \cdot c_1} = \frac{k^3 \cdot a_1 \cdot b_1 \cdot c_1}{a_1 \cdot b_1 \cdot c_1} = k^3$

Таким образом, мы проверили, что объемы двух подобных прямоугольных параллелепипедов относятся как куб коэффициента подобия.

Ответ: Проверка подтвердила, что отношение объемов двух подобных прямоугольных параллелепипедов равно кубу коэффициента подобия $k^3$.

Вопросы

1. Какой величине аналогичен объем?

2. Что принимается за единицу измерения объема?

3. Перечислите свойства объема.

4. Какие фигуры в пространстве называются равновеликими?

5. Какое преобразование пространства называется подобием?

6. Какие фигуры в пространстве называются подобными?

7. Как связаны между собой объемы подобных фигур?

8. Приведите примеры подобных пространственных фигур.

1. Какой величине аналогичен объем?
Объем, как характеристика пространственного тела, является аналогом понятия площади для плоской фигуры. Если площадь измеряет, какую часть плоскости занимает фигура, то объем измеряет, какую часть пространства занимает тело. Таким образом, объем в стереометрии (геометрии в пространстве) играет ту же роль, что и площадь в планиметрии (геометрии на плоскости).
Ответ: Объём аналогичен площади.

2. Что принимается за единицу измерения объема?
За единицу измерения объема принимается объем куба, ребро которого равно единице длины. Такой куб называется единичным. В зависимости от выбранной единицы длины (метр, сантиметр, миллиметр и т.д.), единицей объема будет соответственно кубический метр ($м^3$), кубический сантиметр ($см^3$), кубический миллиметр ($мм^3$) и так далее.
Ответ: За единицу измерения объема принимается объем единичного куба (куба, ребро которого равно единице длины).

3. Перечислите свойства объема.
Основные свойства объема геометрических тел:
1. Неотрицательность. Объем любого тела есть неотрицательное число.
2. Инвариантность при перемещении (свойство равных тел). Равные тела имеют равные объемы.
3. Аддитивность. Если тело составлено из нескольких тел, которые не имеют общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.
4. Нормированность. Объем единичного куба (куба с ребром, равным единице длины) равен единице.
Ответ: 1. Объем любого тела — неотрицательное число. 2. Равные тела имеют равные объемы. 3. Объем тела, составленного из нескольких тел, равен сумме их объемов.

4. Какие фигуры в пространстве называются равновеликими?
Равновеликими в пространстве называются такие геометрические тела (фигуры), которые имеют равные объемы. При этом форма этих тел может быть совершенно различной. Например, шар и куб могут быть равновеликими, если их объемы совпадают.
Ответ: Равновеликими называются фигуры, имеющие равные объемы.

5. Какое преобразование пространства называется подобием?
Подобием (или преобразованием подобия) с коэффициентом $k > 0$ называется такое преобразование пространства, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в $k$ раз. То есть, если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$, то длина отрезка $A'B'$ равна $k$, умноженному на длину отрезка $AB$: $|A'B'| = k \cdot |AB|$. Подобие сохраняет форму фигур, но изменяет их размеры.
Ответ: Преобразование пространства, при котором все расстояния между точками изменяются в одно и то же положительное число раз (коэффициент подобия).

6. Какие фигуры в пространстве называются подобными?
Две фигуры в пространстве называются подобными, если одна из них может быть получена из другой путем преобразования подобия. Это означает, что для любых двух соответствующих точек одной и другой фигуры отношение расстояний между ними является постоянной величиной (коэффициентом подобия), а все соответствующие углы равны.
Ответ: Фигуры, которые можно совместить преобразованием подобия.

7. Как связаны между собой объемы подобных фигур?
Отношение объемов двух подобных пространственных фигур равно кубу коэффициента подобия. Если две фигуры $F_1$ и $F_2$ подобны с коэффициентом подобия $k$, то отношение их объемов $V_1$ и $V_2$ определяется соотношением: $\frac{V_2}{V_1} = k^3$.
Ответ: Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия.

8. Приведите примеры подобных пространственных фигур.
Примерами подобных фигур в пространстве являются:

• любые два куба;
• любые два шара;
• любые два правильных многогранника одного вида (например, два правильных тетраэдра или два икосаэдра);
• два конуса, если у них равны углы при вершине осевого сечения;
• две модели одного и того же автомобиля, выполненные в разных масштабах.

23.1. Объем куба равен $27\text{ см}^3$. Найдите площадь его поверхности.

23.2. Площадь поверхности куба равна $24\text{ см}^2$. Найдите его об...

Дано:

Объем куба $V = 27 \text{ см}^3$.

Перевод в систему СИ:

$V = 27 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 27 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Площадь поверхности куба $S$.

Решение:

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба.

Из этой формулы мы можем найти длину ребра:

$a = \sqrt[3]{V}$

Подставим данное значение объема:

$a = \sqrt[3]{27 \text{ см}^3} = 3 \text{ см}$.

Площадь поверхности куба равна сумме площадей шести его граней. Каждая грань является квадратом со стороной $a$. Площадь одной грани равна $S_{грани} = a^2$.

Следовательно, площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле:

$S = 6 \cdot a^2$.

Подставим найденное значение длины ребра $a$:

$S = 6 \cdot (3 \text{ см})^2 = 6 \cdot 9 \text{ см}^2 = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: $54 \text{ см}^2$.

23.2. Площадь поверхности куба равна $24 \text{ см}^2$. Найдите его объем.

Дано:

Площадь поверхности куба $S = 24 \text{ см}^2$.

$S = 24 \text{ см}^2 = 24 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 24 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,0024 \text{ м}^2$.

Найти:

Объем куба $V$.

Решение:

Площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ – длина ребра куба. Это связано с тем, что куб состоит из шести одинаковых квадратных граней, площадь каждой из которых равна $a^2$.

Используя данные из условия задачи, мы можем найти длину ребра $a$.

$6a^2 = 24 \text{ см}^2$

Для начала найдем площадь одной грани, разделив общую площадь поверхности на количество граней (6):

$a^2 = \frac{24}{6} = 4 \text{ см}^2$

Теперь, зная площадь одной грани, мы можем найти длину ребра $a$, извлекая квадратный корень:

$a = \sqrt{4 \text{ см}^2} = 2 \text{ см}$

Объем куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$.

Подставим найденное значение длины ребра в эту формулу:

$V = (2 \text{ см})^3 = 8 \text{ см}^3$.

Ответ: 8 см³.

23.3. Диагональ куба равна $ \sqrt{12} $ см. Найдите его объем.

Дано:

Диагональ куба $d = \sqrt{12}$ см.

$d = \sqrt{12} \times 10^{-2}$ м.

Найти:

Объем куба $V$.

Решение:

Связь между диагональю куба $d$ и его ребром $a$ выражается формулой, которая следует из теоремы Пифагора, примененной дважды. Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов его трех измерений (длины, ширины и высоты), которые в кубе равны $a$.

$d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$

Из этой формулы получаем выражение для диагонали:

$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Теперь мы можем выразить длину ребра $a$ через диагональ $d$:

$a = \frac{d}{\sqrt{3}}$

Подставим в эту формулу данное значение диагонали $d = \sqrt{12}$ см:

$a = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$ см.

Итак, длина ребра куба равна 2 см.

Объем куба $V$ вычисляется по формуле:

$V = a^3$

Подставим найденное значение ребра $a = 2$ см:

$V = 2^3 = 8$ см³.

Ответ: $8$ см³.

23.4. Чему равен объем пространственного креста (рис. 23.1), если ребра образующих его кубов равны 1 см?

Рис. 23.1

Дано:

Фигура - пространственный крест, состоящий из кубов.

Длина ребра одного куба $a = 1 \text{ см}$.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Общий объем пространственного креста $V - ?$

Решение:

Пространственный крест, изображенный на рисунке, является трехмерной фигурой, составленной из одинаковых кубов. Классический пространственный крест состоит из центрального куба и шести других кубов, присоединенных к каждой из его шести граней (сверху, снизу, слева, справа, спереди и сзади). Таким образом, общее количество кубов, образующих фигуру, равно:

$N = 1 \text{ (центральный)} + 6 \text{ (внешних)} = 7$ кубов.

Объем одного куба ($V_{куба}$) с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V_{куба} = a^3$

Подставим заданное значение длины ребра $a = 1 \text{ см}$:

$V_{куба} = (1 \text{ см})^3 = 1 \text{ см}^3$

Общий объем $V$ всего пространственного креста равен сумме объемов всех составляющих его кубов. Так как все кубы одинаковы, общий объем можно найти, умножив объем одного куба на их количество:

$V = N \cdot V_{куба}$

Подставим найденные значения:

$V = 7 \cdot 1 \text{ см}^3 = 7 \text{ см}^3$

Ответ: $7 \text{ см}^3$.

ребра образующих его кубов равны 1 см.

23.5. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его ребра увеличить в три раза?

Дано:

Пусть $a_1$ — первоначальная длина ребра куба.
Пусть $a_2$ — новая длина ребра куба.
По условию задачи, ребра увеличили в три раза, следовательно: $a_2 = 3 \cdot a_1$.

Найти:

Отношение нового объема $V_2$ к первоначальному объему $V_1$, то есть $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — это длина ребра куба.

Первоначальный объем куба равен $V_1 = a_1^3$.

Новая длина ребра куба $a_2 = 3a_1$.

Тогда новый объем куба $V_2$ будет равен:

$V_2 = a_2^3 = (3a_1)^3 = 3^3 \cdot a_1^3 = 27a_1^3$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, разделим новый объем на первоначальный:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{27a_1^3}{a_1^3} = 27$.

Таким образом, объем куба увеличится в 27 раз.

Ответ: объем куба увеличится в 27 раз.