Страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

23.23. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань единичного куба, а вершиной — центр этого куба (рис. 23.11).

Рис. 23.11

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Основание пирамиды — грань единичного куба.

Вершина пирамиды — центр этого куба.

Длина ребра единичного куба $a = 1$.

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$,

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания пирамиды. Основанием является грань единичного куба. Грань единичного куба — это квадрат со стороной $a = 1$. Площадь такого квадрата равна:

$S_{осн} = a^2 = 1^2 = 1$ (кв. ед.).

2. Найдем высоту пирамиды. Высота пирамиды — это расстояние от ее вершины до плоскости основания. По условию, вершина пирамиды находится в центре куба, а основание совпадает с одной из его граней. Расстояние от центра куба до любой из его граней равно половине длины ребра куба.

Следовательно, высота пирамиды $h$ равна:

$h = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ (ед.).

3. Теперь вычислим объем пирамиды, подставив найденные значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ (куб. ед.).

Можно также заметить, что куб состоит из шести таких одинаковых пирамид, основаниями которых являются грани куба, а общей вершиной — его центр. Объем единичного куба равен $V_{куба} = 1^3 = 1$. Тогда объем одной пирамиды равен $V = \frac{V_{куба}}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

23.24. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань единичного куба, а вершиной — вершина куба, не принадлежащая этой грани (рис. 23.12).

Рис. 23.12

Дано:
Рассматривается четырехугольная пирамида, вписанная в единичный куб.
Основание пирамиды – грань куба.
Вершина пирамиды – вершина куба, не лежащая в плоскости основания.
Длина ребра единичного куба: $a = 1$ условная единица.

Найти:
Объем пирамиды $V$.

Решение:
Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ – площадь основания пирамиды, а $h$ – ее высота.

1. Найдем площадь основания.
Основанием пирамиды является грань единичного куба. Грань куба – это квадрат. В единичном кубе сторона этого квадрата равна 1.
Площадь основания (квадрата) равна:
$S_{осн} = a^2 = 1^2 = 1$ (квадратная единица).

2. Найдем высоту пирамиды.
Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
Вершина пирамиды, согласно условию, является вершиной куба, не принадлежащей грани основания. Это значит, что вершина пирамиды лежит на грани, параллельной основанию. Расстояние между двумя параллельными гранями куба равно длине его ребра.
Следовательно, высота пирамиды равна ребру куба:
$h = a = 1$ (условная единица).

3. Вычислим объем пирамиды.
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{3}$ (кубических единиц).

Ответ: $V = \frac{1}{3}$

23.25. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1 см (рис. 23.13). Найдите объем параллелепипеда.

Рис. 23.13

Дано:

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра.

Радиус основания цилиндра, $r = 1$ см.

Высота цилиндра, $h_{цил} = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$r = 0.01$ м
$h_{цил} = 0.01$ м

Найти:

Объем параллелепипеда, $V_{пар}$.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $h$ - высота параллелепипеда.

Поскольку прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, высота параллелепипеда ($h_{пар}$) равна высоте цилиндра ($h_{цил}$).
$h_{пар} = h_{цил} = 1$ см.

Основание цилиндра (окружность) вписано в основание параллелепипеда (прямоугольник). Это возможно только в том случае, если основание параллелепипеда является квадратом.

Сторона этого квадрата ($a$) равна диаметру ($d$) вписанной окружности. Диаметр, в свою очередь, равен двум радиусам ($r$).
$a = d = 2 \cdot r$
$a = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2$ см.

Таким образом, основание параллелепипеда — это квадрат со стороной 2 см.

Площадь основания параллелепипеда равна:
$S_{осн} = a^2 = (2 \text{ см})^2 = 4 \text{ см}^2$.

Теперь мы можем найти объем параллелепипеда:
$V_{пар} = S_{осн} \cdot h_{пар} = 4 \text{ см}^2 \cdot 1 \text{ см} = 4 \text{ см}^3$.

Ответ: объем параллелепипеда равен $4 \text{ см}^3$.

23.26. Найдите объем куба, вписанного в сферу радиусом 1см (рис. 23.14).

Рис. 23.14

Дано:

Радиус сферы, в которую вписан куб, $R = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем куба $V$.

Решение:

Когда куб вписан в сферу, все его восемь вершин касаются внутренней поверхности сферы. Это означает, что главная диагональ куба (отрезок, соединяющий две наиболее удаленные друг от друга вершины) совпадает с диаметром сферы.

Пусть $a$ — длина ребра куба.Главная диагональ куба $d$ связана с длиной его ребра $a$ соотношением, которое можно найти с помощью теоремы Пифагора. Сначала найдем диагональ $d_f$ одной из граней куба:

$d_f^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром $a$, диагональю грани $d_f$ и главной диагональю куба $d$. Главная диагональ $d$ будет гипотенузой:

$d^2 = a^2 + d_f^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

Отсюда $d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Диаметр сферы $D$ равен двум ее радиусам $R$:

$D = 2R = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Так как главная диагональ куба равна диаметру описанной сферы, мы можем приравнять их значения:

$d = D$

$a\sqrt{3} = 2$

Теперь выразим сторону куба $a$:

$a = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см

Объем куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$. Подставим найденное значение $a$:

$V = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{2^3}{(\sqrt{3})^3} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$ см$^3$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$V = \frac{8}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{8\sqrt{3}}{9}$ см$^3$

Ответ: $V = \frac{8\sqrt{3}}{9}$ см$^3$.

23.27. Докажите, что любая плоскость, проходящая через центр куба, делит его на две равновеликие части.

Решение

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством центральной симметрии куба.

Центром куба является точка пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку как $O$. Куб является центрально-симметричной фигурой относительно своего центра $O$. Это означает, что для любой точки $M$, принадлежащей кубу, точка $M'$, симметричная ей относительно центра $O$ (то есть точка, для которой $O$ является серединой отрезка $MM'$), также принадлежит кубу.

Пусть $\alpha$ — это произвольная плоскость, проходящая через центр куба $O$. Эта плоскость делит куб на две части, которые мы назовем $V_1$ и $V_2$.

Рассмотрим преобразование центральной симметрии с центром в точке $O$. Обозначим это преобразование $S_O$.

Преобразование $S_O$ отображает куб сам на себя. Также оно отображает плоскость $\alpha$ саму на себя, поскольку плоскость $\alpha$ проходит через центр симметрии $O$.

Теперь покажем, что преобразование $S_O$ отображает часть $V_1$ на часть $V_2$.
Возьмем любую точку $P$, принадлежащую части $V_1$. По определению, точка $P$ лежит с одной стороны от плоскости $\alpha$. Ее симметричный образ $P' = S_O(P)$ лежит на прямой $PO$ на таком же расстоянии от $O$, но с противоположной стороны. Следовательно, точка $P'$ лежит по другую сторону от плоскости $\alpha$. Поскольку исходная точка $P$ принадлежала кубу, ее образ $P'$ также принадлежит кубу. Значит, точка $P'$ принадлежит части $V_2$.

Таким образом, каждой точке из части $V_1$ соответствует единственная точка из части $V_2$, и наоборот. Это означает, что преобразование центральной симметрии $S_O$ полностью отображает тело $V_1$ на тело $V_2$.

Центральная симметрия является движением (изометрией) в пространстве. Любое движение сохраняет объемы геометрических тел. Поскольку тело $V_2$ является образом тела $V_1$ при движении, их объемы равны.

Объем($V_1$) = Объем($V_2$)

Следовательно, части $V_1$ и $V_2$ являются равновеликими, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как куб является центрально-симметричной фигурой, любая плоскость, проходящая через его центр симметрии, делит куб на две части, которые симметричны друг другу относительно этого центра. Центральная симметрия является движением и сохраняет объем, поэтому полученные части имеют равные объемы (равновелики).

23.28. Емкость имеет форму параллелепипеда (рис. 23.15).

Необходимо наполнить водой ровно половину объема данной емкости, не имея никаких других емкостей и не делая измерений. Покажите на рисунке и объясните.

Найдите объем этой воды, если длина емкости 4 м, ширина на 0,5 м больше высоты, а высота составляет 37,5% длины.

Рис. 23.15

Покажите на рисунке и объясните

Чтобы наполнить емкость водой ровно на половину ее объема, не имея измерительных приборов, необходимо использовать свойство симметрии параллелепипеда. Плоскость, проходящая через два противоположных ребра параллелепипеда, делит его объем на две равные части.

Для этого нужно наклонять емкость, пока поверхность воды не образует такую плоскость. Практически это можно сделать так: емкость наклоняется, опираясь на одно из своих нижних ребер, до тех пор, пока уровень воды не коснется противоположного ему верхнего ребра. В этот момент объем воды в емкости будет равен ровно половине полного объема емкости.

На рисунке из условия задачи это можно показать, проведя диагональ на боковой (или передней) грани. Эта линия будет изображать уровень воды в наклоненной емкости. Область под этой линией будет заполнена водой.

Ответ: Необходимо наклонять емкость до тех пор, пока уровень воды не соединит одно из нижних ребер с противоположным ему верхним ребром.

Найдите объем этой воды, если длина емкости 4 м, ширина на 0,5 м больше высоты, а высота составляет 37,5% длины.

Дано:
Форма емкости - прямоугольный параллелепипед.
Длина: $L = 4$ м
Ширина: $W = H + 0.5$ м
Высота: $H = 37.5\% \text{ от } L$
Объем воды: $V_{воды} = \frac{1}{2} V_{емкости}$

Все данные представлены в системе СИ (метры).

Найти:
Объем воды $V_{воды}$.

Решение:

1. Сначала найдем высоту емкости ($H$). Высота составляет 37,5% от длины.
$37.5\% = \frac{37.5}{100} = 0.375$
$H = L \times 0.375 = 4 \text{ м} \times 0.375 = 1.5 \text{ м}$

2. Теперь найдем ширину емкости ($W$), которая на 0,5 м больше высоты.
$W = H + 0.5 \text{ м} = 1.5 \text{ м} + 0.5 \text{ м} = 2 \text{ м}$

3. Рассчитаем полный объем емкости ($V_{емкости}$) по формуле объема прямоугольного параллелепипеда: $V = L \times W \times H$.
$V_{емкости} = 4 \text{ м} \times 2 \text{ м} \times 1.5 \text{ м} = 12 \text{ м}^3$

4. Объем воды составляет половину от полного объема емкости.
$V_{воды} = \frac{1}{2} V_{емкости} = \frac{1}{2} \times 12 \text{ м}^3 = 6 \text{ м}^3$

Ответ: $6 \text{ м}^3$.