Страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

Как вычисляется объем цилиндра?

Объем цилиндра представляет собой произведение площади его основания на высоту.

Решение

Цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями (основаниями). Основанием прямого кругового цилиндра является круг.

1. Сначала находим площадь основания цилиндра. Так как основание — это круг, его площадь ($S_{осн}$) вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \pi R^2$
где $R$ — это радиус круга (основания), а $\pi$ — математическая константа, приблизительно равная $3,14$.

2. Затем, чтобы найти объем ($V$), нужно умножить полученную площадь основания на высоту цилиндра ($h$):
$V = S_{осн} \cdot h$

3. Объединив эти два шага, мы получаем итоговую формулу для вычисления объема цилиндра:
$V = \pi R^2 h$

Таким образом, для вычисления объема цилиндра необходимо знать его радиус и высоту.

Ответ: Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$, где $V$ – объем, $R$ – радиус основания, $h$ – высота цилиндра.

25.1. Радиус основания цилиндра равен 2 см, образующая равна 3 см.

Найдите объем этого цилиндра.

Дано:
Радиус основания цилиндра, $r = 2 \text{ см}$
Образующая цилиндра, $l = 3 \text{ см}$

$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$l = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:
Объем цилиндра, $V$.

Решение:
Объем цилиндра вычисляется по формуле произведения площади его основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot h$.

Основанием цилиндра является круг, площадь которого находится по формуле: $S_{осн} = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания.

Таким образом, формула для объема цилиндра имеет вид: $V = \pi r^2 h$.

В прямом круговом цилиндре образующая $l$ равна его высоте $h$. По условию задачи $l = 3 \text{ см}$, следовательно, высота цилиндра $h = 3 \text{ см}$.

Теперь подставим числовые значения радиуса и высоты в формулу для нахождения объема: $V = \pi \cdot (2 \text{ см})^2 \cdot 3 \text{ см} = \pi \cdot 4 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 12\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $12\pi \text{ см}^3$.

25.2. Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной $a$ см. Найдите объем цилиндра.

Дано:

Цилиндр.

Осевое сечение цилиндра — квадрат.

Сторона квадрата = $a$ см.

Найти:

Объем цилиндра $V$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота цилиндра. Так как основанием цилиндра является круг, формула принимает вид:

$V = \pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания, а $H$ – высота цилиндра.

Осевое сечение цилиндра – это сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Такое сечение всегда является прямоугольником. По условию, этот прямоугольник является квадратом со стороной $a$.

Стороны этого квадрата равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D$.

Следовательно, мы можем приравнять их к стороне квадрата $a$:

Высота цилиндра: $H = a$.

Диаметр основания: $D = a$.

Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{a}{2}$.

Теперь подставим полученные выражения для $R$ и $H$ в формулу для объема цилиндра:

$V = \pi \cdot (\frac{a}{2})^2 \cdot a$

Выполним вычисления:

$V = \pi \cdot \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{\pi a^3}{4}$

Поскольку сторона квадрата дана в сантиметрах, объем будет измеряться в кубических сантиметрах.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{4}$ см³.