Страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите высоту призмы, в которую вписана сфера радиусом 1 см:

А) 1 см; B) 2 см; C) 3 см; D) 4 см.

Дано:

Радиус вписанной в призму сферы: $R = 1$ см.

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Высоту призмы $H$.

Решение:

Если сфера вписана в призму, это означает, что она касается всех ее граней. В частности, сфера касается верхнего и нижнего оснований призмы, которые представляют собой параллельные плоскости.

Высота призмы $H$ — это перпендикулярное расстояние между плоскостями ее оснований. Поскольку вписанная сфера касается обоих оснований, расстояние между точками касания на этих основаниях равно диаметру сферы $D$. Это расстояние и является высотой призмы.

Таким образом, высота призмы равна диаметру вписанной в нее сферы:

$H = D$

Диаметр сферы $D$ в два раза больше ее радиуса $R$:

$D = 2R$

Следовательно, для высоты призмы получаем формулу:

$H = 2R$

Подставим известное значение радиуса $R = 1$ см в эту формулу:

$H = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Ответ: $2$ см.

18. В правильную треугольную призму, сторона основания которой равна 6 см, вписана сфера. Найдите ее радиус:

A) $\sqrt{2}$ см;

B) $2\sqrt{2}$ см;

C) $\sqrt{3}$ см;

D) $2\sqrt{3}$ см.

Дано:

Правильная треугольная призма.

Сторона основания $a = 6$ см.

В призму вписана сфера.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Найти:

Радиус вписанной сферы $R$.

Решение:

Для того чтобы в прямую призму можно было вписать сферу, необходимо, чтобы в ее основание можно было вписать окружность, а высота призмы была равна диаметру этой окружности. В правильной треугольной призме основанием является равносторонний треугольник, в который всегда можно вписать окружность.

Радиус $R$ вписанной в призму сферы равен радиусу $r$ окружности, вписанной в многоугольник основания.

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a = 6$ см.

Формула для вычисления радиуса $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, следующая:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Подставим в формулу значение стороны основания $a=6$ см:

$r = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ см.

Следовательно, радиус вписанной сферы $R$ также равен $\sqrt{3}$ см.

$R = r = \sqrt{3}$ см.

Данный результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: $\sqrt{3}$ см.

19. В правильную шестиугольную призму вписана сфера радиусом 3 см. Найдите сторону основания этой призмы.

A) $2\sqrt{2}$ см;

B) $2\sqrt{3}$ см;

C) $3\sqrt{2}$ см;

D) $3\sqrt{3}$ см.

Дано:

Призма — правильная шестиугольная.

В призму вписана сфера.

Радиус вписанной сферы $R = 3$ см.

Найти:

Сторону основания призмы $a$.

Решение:

Поскольку сфера вписана в правильную шестиугольную призму, она касается всех граней призмы: двух оснований и шести боковых граней.

Это означает, что расстояние между основаниями призмы (ее высота) равно диаметру сферы, а также то, что окружность большого круга сферы, параллельного основаниям, вписана в основание призмы (правильный шестиугольник).

Таким образом, радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник в основании призмы, равен радиусу вписанной сферы.

Пусть $r$ — радиус окружности, вписанной в основание, тогда $r = R = 3$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, связан с этой стороной формулой:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим известное значение радиуса $r = 3$ см в формулу и найдем сторону $a$:

$3 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Выразим $a$:

$a\sqrt{3} = 3 \cdot 2$

$a\sqrt{3} = 6$

$a = \frac{6}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Таким образом, сторона основания призмы равна $2\sqrt{3}$ см, что соответствует варианту B).

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

20. Найдите радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр, ребра которого равны 4 см:

A) $\frac{\sqrt{6}}{2}$ см;

B) $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см;

C) $\frac{\sqrt{6}}{4}$ см;

D) $\frac{\sqrt{6}}{6}$ см.

Дано:

Правильный тетраэдр

Длина ребра $a = 4$ см

Перевод в СИ:

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

$r$ — радиус вписанной сферы.

Решение:

Для нахождения радиуса сферы, вписанной в правильный тетраэдр, можно использовать готовую формулу или вывести ее. Продемонстрируем вывод формулы через высоту тетраэдра.

Центр вписанной сферы в правильном тетраэдре совпадает с его центроидом — точкой пересечения высот. Центроид делит каждую высоту в отношении 3:1, считая от вершины.

Радиус вписанной сферы $r$ равен расстоянию от центра до любой грани, что составляет одну четвертую часть от высоты тетраэдра $H$.

$r = \frac{1}{4}H$

Найдем высоту тетраэдра $H$. Высота, опущенная из вершины тетраэдра на основание (которое является равносторонним треугольником), образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является ребро тетраэдра $a$, одним катетом — высота $H$, а вторым катетом — радиус $R$ окружности, описанной около основания.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

$H^2 + R^2 = a^2$

Выразим $H^2$:

$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2 \cdot 3}{9} = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

Отсюда находим высоту $H$:

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = a\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Теперь можем найти радиус вписанной сферы $r$:

$r = \frac{1}{4}H = \frac{1}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$

Подставим в полученную формулу заданное значение длины ребра $a = 4$ см:

$r = \frac{4\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Полученный результат соответствует варианту B).

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см.