Номер 13, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см, а высота равна 1 см.

A) 1 см; B) 2 см; C) 3 см; D) 4 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Боковое ребро, $l = 2$ см.

Высота, $H = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$H = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Радиус $R$ этой сферы можно найти, рассмотрев сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту и боковое ребро.

Пусть $S$ - вершина пирамиды, $P$ - центр ее квадратного основания. Тогда $SP$ - это высота пирамиды, $SP = H = 1$ см. Пусть $A$ - одна из вершин основания. Тогда $SA$ - это боковое ребро, $SA = l = 2$ см. Отрезок $AP$ - это половина диагонали квадрата в основании.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SPA$. По теореме Пифагора: $SA^2 = SP^2 + AP^2$. Отсюда мы можем найти квадрат половины диагонали основания:

$AP^2 = SA^2 - SP^2 = l^2 - H^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$ см$^2$.

Радиус сферы, описанной около правильной пирамиды, вычисляется по формуле:

$R = \frac{l^2}{2H}$

Эта формула выводится из рассмотрения сечения пирамиды, которое представляет собой равнобедренный треугольник (в нашем случае $SAC$), вписанный в большую окружность сферы. Для этого треугольника радиус описанной окружности (равный $R$) можно найти как $R = \frac{abc}{4A_{\text{триуг}}}$. Либо через свойства подобных треугольников, образованных центром сферы, вершиной и основанием пирамиды.

Подставим данные из условия задачи в формулу:

$l = 2$ см

$H = 1$ см

$R = \frac{2^2}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ: $2$ см.