Номер 12, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см, а высота равна 1 см:
A) 1 см;
B) 2 см;
C) 3 см;
D) 4 см.

Дано:

Правильная треугольная пирамида

Боковое ребро $L = 2$ см

Высота $H = 1$ см

Все данные представлены в согласованных единицах измерения (сантиметры), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Для нахождения радиуса сферы, описанной около правильной пирамиды, можно использовать общую формулу, связывающую радиус описанной сферы $R$, высоту пирамиды $H$ и боковое ребро $L$. Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, которое проходит через высоту пирамиды и боковое ребро. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности основания $r_{осн}$ (как катеты) и боковым ребром $L$ (как гипотенуза). По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + r_{осн}^2$

Центр описанной сферы (точка $Q$) лежит на высоте пирамиды. Расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды равно радиусу сферы $R$. Рассмотрим две вершины: вершину пирамиды $S$ и одну из вершин основания $A$.

$QS = R$

$QA = R$

Рассмотрим треугольник, образованный центром сферы $Q$, центром основания $O$ и вершиной основания $A$. Этот треугольник прямоугольный с катетами $QO$ и $OA=r_{осн}$ и гипотенузой $QA=R$.

$R^2 = QO^2 + r_{осн}^2$

Расстояние $QO$ можно выразить через высоту $H$ и радиус $R$. Точки $S$, $Q$, $O$ лежат на одной прямой (высоте). Расстояние от центра сферы до вершины пирамиды $QS = R$. Расстояние от вершины до основания $SO = H$. Тогда $QO = |H - R|$.

Подставим это в уравнение:

$R^2 = (H - R)^2 + r_{осн}^2$

Раскроем скобки:

$R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + r_{осн}^2$

Упростим, сократив $R^2$:

$0 = H^2 - 2HR + r_{осн}^2$

Выразим $2HR$:

$2HR = H^2 + r_{осн}^2$

Как мы установили ранее, $L^2 = H^2 + r_{осн}^2$. Заменим правую часть на $L^2$:

$2HR = L^2$

Отсюда находим формулу для радиуса описанной сферы:

$R = \frac{L^2}{2H}$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи:

$L = 2$ см

$H = 1$ см

$R = \frac{2^2}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ:

Радиус описанной сферы равен 2 см.