Номер 21.6, страница 126 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

можно вписать сферу!

21.6. Приведите пример правильной призмы, в которую нельзя вписать сферу.

Решение

Для того чтобы в правильную призму можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы высота призмы была равна диаметру окружности, вписанной в основание призмы.

Обоснуем это условие. Пусть дана правильная призма с высотой $H$. В ее основании лежит правильный многоугольник, в который можно вписать окружность радиусом $r_{in}$.

1. Если в призму вписана сфера, она должна касаться верхнего и нижнего оснований призмы. Расстояние между основаниями равно высоте призмы $H$. Следовательно, диаметр вписанной сферы $2R$ должен быть равен высоте $H$. Отсюда радиус сферы $R = H/2$.

2. Вписанная сфера также должна касаться всех боковых граней призмы. Поскольку призма правильная, ее боковые грани равноудалены от оси призмы. Центр вписанной сферы должен лежать на этой оси. Расстояние от оси до любой боковой грани равно радиусу окружности, вписанной в основание, то есть $r_{in}$. Следовательно, радиус сферы $R$ должен быть равен $r_{in}$.

Из этих двух условий получаем необходимое и достаточное условие для возможности вписать сферу в правильную призму: $H = 2r_{in}$. Величина $2r_{in}$ как раз является диаметром окружности, вписанной в основание.

Чтобы привести пример правильной призмы, в которую нельзя вписать сферу, достаточно выбрать любую правильную призму, у которой высота $H$ не равна диаметру вписанной в основание окружности $d_{in} = 2r_{in}$.

Рассмотрим в качестве примера правильную четырехугольную призму. В ее основании лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a$. Радиус вписанной в квадрат окружности $r_{in} = a/2$, а ее диаметр $d_{in} = a$. Для такой призмы условие возможности вписать сферу принимает вид $H = a$. То есть, сфера вписывается только в том случае, если призма является кубом.

Следовательно, любая правильная четырехугольная призма, которая не является кубом, служит примером призмы, в которую нельзя вписать сферу.

Например, возьмем правильную четырехугольную призму со стороной основания $a = 5$ и высотой $H = 10$. В этом случае $d_{in} = 5$, а $H=10$. Так как $H \neq d_{in}$, вписать сферу в данную призму невозможно.

Ответ: любая правильная призма, высота которой не равна диаметру окружности, вписанной в ее основание. Например, правильная четырехугольная призма со стороной основания 5 и высотой 10.