Номер 24.5, страница 141 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24.5. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 см и острым углом $60^\circ$. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол $60^\circ$ и равно 1 см. Найдите объем параллелепипеда.

Дано:

Основание параллелепипеда — ромб.

Сторона ромба: $a = 1 \text{ см}$.

Острый угол ромба: $\alpha = 60^\circ$.

Боковое ребро параллелепипеда: $l = 1 \text{ см}$.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания: $\beta = 60^\circ$.

Перевод данных в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем параллелепипеда $V$.

Решение:

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

Сначала найдем площадь основания. Так как основанием является ромб, его площадь можно вычислить по формуле $S = a^2 \sin \alpha$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

Подставим известные значения:

$S_{осн} = 1^2 \cdot \sin 60^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

Далее определим высоту параллелепипеда $H$. Высота — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины верхнего основания на плоскость нижнего. Высоту можно найти через длину бокового ребра $l$ и угол $\beta$, который это ребро составляет с плоскостью основания, по формуле $H = l \cdot \sin \beta$.

Подставим значения из условия задачи:

$H = 1 \cdot \sin 60^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Теперь, имея площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем параллелепипеда:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см} = \frac{(\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} \text{ см}^3$.

Объем параллелепипеда равен $0.75 \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{3}{4} \text{ см}^3$.