Задания, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Выведите формулу объема правильной:

а) треугольной;

б) шестиугольной призмы, стороны основания которой равны $a$, а высота равна $h$.

Дано:

Призма правильная.

Сторона основания - $a$.

Высота призмы - $h$.

Найти:

Формулу объема $V$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по общей формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $h$ — ее высота. Поскольку призма является правильной, ее основание — правильный многоугольник.

а) Правильная треугольная призма

В основании правильной треугольной призмы лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле, использующей сторону и угол между сторонами ($60^\circ$):

$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Теперь, зная площадь основания, мы можем найти объем призмы, умножив площадь основания на высоту $h$:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{a^2h\sqrt{3}}{4}$

Ответ: Формула объема правильной треугольной призмы: $V = \frac{a^2h\sqrt{3}}{4}$.

б) Правильная шестиугольная призма

В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a$. Правильный шестиугольник можно разбить на шесть одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь одного такого треугольника, как мы выяснили в пункте а), равна $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь всего шестиугольного основания будет в шесть раз больше:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим полученную площадь основания в формулу для объема призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h = \frac{3a^2h\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Формула объема правильной шестиугольной призмы: $V = \frac{3a^2h\sqrt{3}}{2}$.