Страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.20. Найдите объем правильной шестиугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 2 см и 1 см, а высота равна 3 см (рис. 26.10).

Рис. 26.10

Дано:

Правильная шестиугольная усеченная пирамида.

Сторона нижнего основания, $a = 2 \text{ см}$.

Сторона верхнего основания, $b = 1 \text{ см}$.

Высота, $h = 3 \text{ см}$.

Найти:

Объем усеченной пирамиды, $V$.

Решение:

Объем усеченной пирамиды находится по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

В основаниях данной пирамиды лежат правильные шестиугольники. Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ можно вычислить по формуле:

$S_{шест.} = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$

1. Вычислим площадь нижнего (большего) основания $S_1$, сторона которого $a = 2 \text{ см}$:

$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Вычислим площадь верхнего (меньшего) основания $S_2$, сторона которого $b = 1 \text{ см}$:

$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

3. Найдем значение выражения $\sqrt{S_1 S_2}$:

$\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{6\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{18 \cdot (\sqrt{3})^2}{2}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 3}{2}} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \text{ см}^2$.

4. Подставим все найденные значения в формулу для вычисления объема усеченной пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \left(6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3}\right)$

Упростим полученное выражение:

$V = 1 \cdot \left((6\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = 9\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

$V = \frac{2 \cdot 9\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{18\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{21\sqrt{3}}{2} \text{ см}^3$.

Ответ: $V = \frac{21\sqrt{3}}{2} \text{ см}^3$.

26.21. Дворец мира и согласия в Нур-Султане (рис. 26.11) имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания и высота которой равны 62 м. Найдите его объем.

Рис. 26.11

Дано:

Форма — правильная четырехугольная пирамида.

Сторона основания, $a = 62$ м.

Высота, $h = 62$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Объем пирамиды, $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Так как пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2$

Подставим формулу площади основания в формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3}a^2 \cdot h$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$V = \frac{1}{3} \cdot (62 \text{ м})^2 \cdot 62 \text{ м} = \frac{1}{3} \cdot 62^3 \text{ м}^3$

Вычислим значение:

$62^3 = 62 \cdot 62 \cdot 62 = 3844 \cdot 62 = 238328$

$V = \frac{1}{3} \cdot 238328 \text{ м}^3 \approx 79442,67 \text{ м}^3$

Ответ: объем дворца равен $79442,67 \text{ м}^3$.

26.22. Сформулируйте условия на стороны оснований и боковые ребра двух правильных $n$-угольных пирамид, при которых эти пирамиды подобны. Как относятся объемы этих пирамид?

Сформулируйте условия на стороны оснований и боковые ребра двух правильных n-угольных пирамид, при которых эти пирамиды подобны.

Два многогранника называются подобными, если один из них может быть получен из другого преобразованием подобия (гомотетией). Это означает, что все их соответствующие линейные элементы (ребра, высоты, апофемы и т.д.) пропорциональны, а все соответствующие углы (как плоские углы на гранях, так и двугранные углы) равны.

Рассмотрим две правильные n-угольные пирамиды, $P_1$ и $P_2$. Пусть $a_1$ – сторона основания первой пирамиды, а $b_1$ – ее боковое ребро. Аналогично, пусть $a_2$ и $b_2$ – сторона основания и боковое ребро второй пирамиды.

Основаниями обеих пирамид являются правильные n-угольники. Любые два правильных n-угольника подобны друг другу. Коэффициент подобия их оснований равен отношению их сторон, то есть $\frac{a_1}{a_2}$.

Боковые грани правильной n-угольной пирамиды являются равными между собой равнобедренными треугольниками. У первой пирамиды стороны боковой грани равны $b_1, b_1, a_1$. У второй пирамиды – $b_2, b_2, a_2$.

Для того чтобы пирамиды были подобны, необходимо, чтобы их соответствующие многогранные углы были равны, а ребра, исходящие из соответствующих вершин, — пропорциональны. В частности, должны быть подобны их боковые грани, являющиеся равнобедренными треугольниками. Для подобия этих треугольников необходимо, чтобы их соответствующие стороны были пропорциональны с одним и тем же коэффициентом. Это означает, что должно выполняться равенство:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$

Данное условие является и достаточным. Если отношение стороны основания к боковому ребру одинаково для обеих пирамид, то есть $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$, то все треугольники, определяющие геометрию пирамиды (например, сечение, проходящее через высоту и боковое ребро, или сечение, проходящее через высоту и апофему боковой грани), будут подобны для обеих пирамид. Из этого следует равенство всех соответствующих углов и пропорциональность всех соответствующих линейных элементов, то есть подобие самих пирамид.

Ответ: Две правильные n-угольные пирамиды подобны тогда и только тогда, когда их стороны оснований и боковые ребра пропорциональны. Если $a_1$ и $a_2$ – стороны оснований, а $b_1$ и $b_2$ – боковые ребра пирамид, то условие подобия имеет вид: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.

Как относятся объемы этих пирамид?

Отношение объемов двух подобных тел равно кубу коэффициента их подобия. Докажем это для рассматриваемых пирамид.

Пусть коэффициент подобия двух пирамид равен $k$. Из условия подобия, установленного в предыдущем пункте, мы знаем, что $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота пирамиды.

Отношение объемов двух пирамид $V_1$ и $V_2$ равно:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} S_1 \cdot H_1}{\frac{1}{3} S_2 \cdot H_2} = \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{H_1}{H_2}$

Так как основания пирамид – подобные правильные n-угольники с коэффициентом подобия $k$, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_1}{S_2} = (\frac{a_1}{a_2})^2 = k^2$

Высоты пирамид $H_1$ и $H_2$ являются соответствующими линейными элементами, поэтому их отношение также равно коэффициенту подобия:

$\frac{H_1}{H_2} = k$

Подставляя полученные отношения площадей и высот в формулу для отношения объемов, получаем:

$\frac{V_1}{V_2} = k^2 \cdot k = k^3$

Ответ: Отношение объемов двух подобных правильных n-угольных пирамид равно кубу коэффициента их подобия. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению их соответствующих линейных размеров (например, сторон оснований или боковых ребер). Таким образом, $\frac{V_1}{V_2} = (\frac{a_1}{a_2})^3 = (\frac{b_1}{b_2})^3$.

26.23. Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса (рис. 26.12) – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 146 м и боковым ребром 230 м. Найдите объем этой пирамиды.

Рис. 26.12

Дано:

Пирамида Хеопса — правильная четырехугольная пирамида.

Высота, $H = 146$ м

Боковое ребро, $L = 230$ м

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

Объем пирамиды, $V$.

Решение:

1. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

2. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Тогда площадь основания $S_{осн} = a^2$.

3. Чтобы найти площадь основания, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, половиной диагонали основания $(\frac{d}{2})$ и боковым ребром $L$. В этом треугольнике боковое ребро $L$ является гипотенузой, а $H$ и $\frac{d}{2}$ — катетами. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (\frac{d}{2})^2$

4. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. Соответственно, половина диагонали равна $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

5. Подставим выражение для половины диагонали в уравнение теоремы Пифагора:

$L^2 = H^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2$

$L^2 = H^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4}$

$L^2 = H^2 + \frac{a^2}{2}$

6. Из этого уравнения выразим $a^2$, что и является площадью основания $S_{осн}$:

$\frac{a^2}{2} = L^2 - H^2$

$a^2 = 2(L^2 - H^2)$

$S_{осн} = 2(L^2 - H^2)$

7. Подставим числовые значения и вычислим площадь основания:

$S_{осн} = 2(230^2 - 146^2) = 2(52900 - 21316) = 2 \cdot 31584 = 63168$ м$^2$.

8. Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 63168 \cdot 146 = 21056 \cdot 146 = 3074176$ м$^3$.

Ответ: объем пирамиды равен $3074176$ м$^3$.

26.24. На фотографии виден жилой дом, у которого крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием (рис. 26.13). Все ребра пирамиды равны 12 м. Найдите объем крыши этого дома.

Рис. 26.13

Дано:

Крыша — правильная четырехугольная пирамида.
Длина всех ребер $a = 12 \text{ м}$.

Найти:

Объем крыши $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.
Поскольку крыша представляет собой пирамиду с квадратным основанием и все ее ребра равны, то основанием является квадрат со стороной $a = 12 \text{ м}$.
Площадь основания $S_{осн}$ равна:
$S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ м}^2$.

2. Найдем высоту пирамиды.
Высота пирамиды $h$, боковое ребро $c$ и половина диагонали основания $d/2$ образуют прямоугольный треугольник. Боковое ребро $c$ является гипотенузой этого треугольника, и по условию $c = 12 \text{ м}$.
Сначала найдем длину диагонали $d$ квадратного основания по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \text{ м}$.
Половина диагонали будет равна:
$\frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ м}$.
Теперь из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковым ребром и половиной диагонали, по теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 = c^2 - (\frac{d}{2})^2$
$h^2 = 12^2 - (6\sqrt{2})^2 = 144 - (36 \cdot 2) = 144 - 72 = 72$
$h = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \text{ м}$.

3. Вычислим объем крыши (пирамиды).
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6\sqrt{2} = 48 \cdot 6\sqrt{2} = 288\sqrt{2} \text{ м}^3$.

Ответ: $288\sqrt{2} \text{ м}^3$.