Номер 26.24, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.24. На фотографии виден жилой дом, у которого крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием (рис. 26.13). Все ребра пирамиды равны 12 м. Найдите объем крыши этого дома.

Рис. 26.13

Дано:

Крыша — правильная четырехугольная пирамида.
Длина всех ребер $a = 12 \text{ м}$.

Найти:

Объем крыши $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.
Поскольку крыша представляет собой пирамиду с квадратным основанием и все ее ребра равны, то основанием является квадрат со стороной $a = 12 \text{ м}$.
Площадь основания $S_{осн}$ равна:
$S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ м}^2$.

2. Найдем высоту пирамиды.
Высота пирамиды $h$, боковое ребро $c$ и половина диагонали основания $d/2$ образуют прямоугольный треугольник. Боковое ребро $c$ является гипотенузой этого треугольника, и по условию $c = 12 \text{ м}$.
Сначала найдем длину диагонали $d$ квадратного основания по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \text{ м}$.
Половина диагонали будет равна:
$\frac{d}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ м}$.
Теперь из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковым ребром и половиной диагонали, по теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 = c^2 - (\frac{d}{2})^2$
$h^2 = 12^2 - (6\sqrt{2})^2 = 144 - (36 \cdot 2) = 144 - 72 = 72$
$h = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \text{ м}$.

3. Вычислим объем крыши (пирамиды).
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6\sqrt{2} = 48 \cdot 6\sqrt{2} = 288\sqrt{2} \text{ м}^3$.

Ответ: $288\sqrt{2} \text{ м}^3$.