Номер 26.26, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 1 см, а угол между боковой гранью и основанием равен $45^{\circ}$.

Найдите объем пирамиды.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида

Сторона основания $a = 1$ см

Угол между боковой гранью и основанием $\alpha = 45^{\circ}$

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$. Основание представляет собой правильный шестиугольник, который состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ равна:

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

2. Найдем высоту пирамиды $H$. Угол между боковой гранью и основанием равен углу $\alpha$ в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и апофемой боковой грани.

Апофема основания правильного шестиугольника $r$ (расстояние от центра до середины стороны) равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

При $a=1$ см, $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

В указанном прямоугольном треугольнике катеты — это $H$ и $r$. Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$

Так как $\alpha = 45^{\circ}$, а $\tan(45^{\circ}) = 1$, то $H = r$.

Следовательно, высота пирамиды $H = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$ см$^3$.

Ответ: $0.75$ см$^3$.