Номер 26.32, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.32. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 26.17) найдите объем общей части двух призм $ADA_1BCB_1$ и $ABA_1DCD_1$.

Рис. 26.17

Дано:

Куб `ABCDA₁B₁C₁D₁` — единичный, следовательно, длина его ребра `a = 1`.
Призма `P₁ = ADA₁BCB₁`.
Призма `P₂ = ABA₁DCD₁`.

Найти:

Объем общей части призм `P₁` и `P₂`, то есть `V(P₁ ∩ P₂)`.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину `D` в начало координат, ребро `DA` направим вдоль оси `Ox`, ребро `DC` — вдоль оси `Oy`, а ребро `DD₁` — вдоль оси `Oz`. В этой системе координат вершины единичного куба будут иметь следующие координаты: `A(1, 0, 0)`, `B(1, 1, 0)`, `C(0, 1, 0)`, `D(0, 0, 0)`, `A₁(1, 0, 1)`, `B₁(1, 1, 1)`, `C₁(0, 1, 1)`, `D₁(0, 0, 1)`.

Рассмотрим первую призму `P₁ = ADA₁BCB₁`. Эта призма является половиной куба, отсекаемой плоскостью, проходящей через вершины `A₁, B₁, C, D`. Найдем уравнение этой плоскости. Пусть уравнение плоскости имеет вид `ax + by + cz + d = 0`. Подставим координаты точек: `D(0, 0, 0) ⇒ d = 0` `C(0, 1, 0) ⇒ b + d = 0 ⇒ b = 0` `A₁(1, 0, 1) ⇒ a + c + d = 0 ⇒ a + c = 0 ⇒ c = -a` Приняв `a = 1`, получаем `c = -1`. Уравнение плоскости: `x - z = 0`. Призма `P₁` — это та часть куба, для которой выполняется неравенство `x - z ≥ 0`. Это можно проверить, подставив координаты вершины `A(1, 0, 0)`, которая принадлежит призме: `1 - 0 ≥ 0`. Объем этой призмы `V(P₁) = 1/2 * V_куба = 1/2 * 1³ = 1/2`.

Рассмотрим вторую призму `P₂ = ABA₁DCD₁`. Эта призма также является половиной куба, отсекаемой плоскостью, проходящей через вершины `A₁, B, C, D₁`. Найдем уравнение этой плоскости. Подставим координаты точек в уравнение `ax + by + cz + d = 0`: `C(0, 1, 0) ⇒ b + d = 0 ⇒ b = -d` `D₁(0, 0, 1) ⇒ c + d = 0 ⇒ c = -d` `B(1, 1, 0) ⇒ a + b + d = 0 ⇒ a - d + d = 0 ⇒ a = 0` Уравнение плоскости: `-dy - dz + d = 0`. Разделив на `-d` (при `d ≠ 0`), получаем `y + z - 1 = 0` или `y + z = 1`. Призма `P₂` — это та часть куба, для которой выполняется неравенство `y + z ≤ 1`. Это можно проверить, подставив координаты вершины `A(1, 0, 0)`, которая принадлежит призме: `0 + 0 ≤ 1`. Объем этой призмы `V(P₂) = 1/2 * V_куба = 1/2 * 1³ = 1/2`.

Общая часть двух призм `I = P₁ ∩ P₂` — это многогранник, точки `(x, y, z)` которого внутри единичного куба удовлетворяют двум условиям одновременно: `x ≥ z` `y + z ≤ 1` Найдем вершины этого многогранника. Для этого проверим, какие из вершин куба удовлетворяют обоим неравенствам:

• `D(0, 0, 0): 0 ≥ 0` (верно), `0 + 0 ≤ 1` (верно). Вершина принадлежит `I`.
• `A(1, 0, 0): 1 ≥ 0` (верно), `0 + 0 ≤ 1` (верно). Вершина принадлежит `I`.
• `B(1, 1, 0): 1 ≥ 0` (верно), `1 + 0 ≤ 1` (верно). Вершина принадлежит `I`.
• `C(0, 1, 0): 0 ≥ 0` (верно), `1 + 0 ≤ 1` (верно). Вершина принадлежит `I`.
• `D₁(0, 0, 1): 0 ≥ 1` (неверно). Вершина не принадлежит `I`.
• `A₁(1, 0, 1): 1 ≥ 1` (верно), `0 + 1 ≤ 1` (верно). Вершина принадлежит `I`.
• `B₁(1, 1, 1): 1 ≥ 1` (верно), `1 + 1 ≤ 1` (неверно). Вершина не принадлежит `I`.
• `C₁(0, 1, 1): 0 ≥ 1` (неверно). Вершина не принадлежит `I`.

Таким образом, вершинами искомого многогранника являются точки `D, A, B, C, A₁`. Вершины `D, A, B, C` образуют квадрат `ABCD` в плоскости `z=0`, который является основанием исходного куба. Точка `A₁` лежит вне этой плоскости. Следовательно, искомый многогранник — это пирамида `A₁-ABCD`.

Найдем объем этой пирамиды. Основание пирамиды — квадрат `ABCD` с площадью `S_осн = a² = 1² = 1`. Высота пирамиды `h` — это перпендикуляр, опущенный из вершины `A₁` на плоскость основания `ABCD` (плоскость `z=0`). Длина этого перпендикуляра равна z-координате точки `A₁(1, 0, 1)`, то есть `h = 1`.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: `V = 1/3 * S_осн * h` `V = 1/3 * 1 * 1 = 1/3`

Ответ: `1/3`.