Номер 26.32, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.32. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 26.17) найдите объем общей части двух призм $ADA_1BCB_1$ и $ABA_1DCD_1$.

Рис. 26.17

Дано:

Куб $ABCDA₁B₁C₁D₁$ — единичный, следовательно, длина его ребра $a = 1$.
Призма $P₁ = ADA₁BCB₁$.
Призма $P₂ = ABA₁DCD₁$.

Найти:

Объем общей части призм $P₁$ и $P₂$, то есть $V(P₁ ∩ P₂)$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину $D$ в начало координат, ребро $DA$ направим вдоль оси $Ox$, ребро $DC$ — вдоль оси $Oy$, а ребро $DD₁$ — вдоль оси $Oz$. В этой системе координат вершины единичного куба будут иметь следующие координаты: $A(1, 0, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $D(0, 0, 0)$, $A₁(1, 0, 1)$, $B₁(1, 1, 1)$, $C₁(0, 1, 1)$, $D₁(0, 0, 1)$.

Рассмотрим первую призму $P₁ = ADA₁BCB₁$. Эта призма является половиной куба, отсекаемой плоскостью, проходящей через вершины $A₁, B₁, C, D$. Найдем уравнение этой плоскости. Пусть уравнение плоскости имеет вид $ax + by + cz + d = 0$. Подставим координаты точек: $D(0, 0, 0) ⇒ d = 0$ $C(0, 1, 0) ⇒ b + d = 0 ⇒ b = 0$ $A₁(1, 0, 1) ⇒ a + c + d = 0 ⇒ a + c = 0 ⇒ c = -a$ Приняв $a = 1$, получаем $c = -1$. Уравнение плоскости: $x - z = 0$. Призма $P₁$ — это та часть куба, для которой выполняется неравенство $x - z ≥ 0$. Это можно проверить, подставив координаты вершины $A(1, 0, 0)$, которая принадлежит призме: $1 - 0 ≥ 0$. Объем этой призмы $V(P₁) = 1/2 * V_куба = 1/2 * 1³ = 1/2$.

Рассмотрим вторую призму $P₂ = ABA₁DCD₁$. Эта призма также является половиной куба, отсекаемой плоскостью, проходящей через вершины $A₁, B, C, D₁$. Найдем уравнение этой плоскости. Подставим координаты точек в уравнение $ax + by + cz + d = 0$: $C(0, 1, 0) ⇒ b + d = 0 ⇒ b = -d$ $D₁(0, 0, 1) ⇒ c + d = 0 ⇒ c = -d$ $B(1, 1, 0) ⇒ a + b + d = 0 ⇒ a - d + d = 0 ⇒ a = 0$ Уравнение плоскости: $-dy - dz + d = 0$. Разделив на $-d$ (при $d ≠ 0$), получаем $y + z - 1 = 0$ или $y + z = 1$. Призма $P₂$ — это та часть куба, для которой выполняется неравенство $y + z ≤ 1$. Это можно проверить, подставив координаты вершины $A(1, 0, 0)$, которая принадлежит призме: $0 + 0 ≤ 1$. Объем этой призмы $V(P₂) = 1/2 * V_куба = 1/2 * 1³ = 1/2$.

Общая часть двух призм $I = P₁ ∩ P₂$ — это многогранник, точки $(x, y, z)$ которого внутри единичного куба удовлетворяют двум условиям одновременно: $x ≥ z$ $y + z ≤ 1$ Найдем вершины этого многогранника. Для этого проверим, какие из вершин куба удовлетворяют обоим неравенствам:

• $D(0, 0, 0): 0 ≥ 0$ (верно), $0 + 0 ≤ 1$ (верно). Вершина принадлежит $I$.
• $A(1, 0, 0): 1 ≥ 0$ (верно), $0 + 0 ≤ 1$ (верно). Вершина принадлежит $I$.
• $B(1, 1, 0): 1 ≥ 0$ (верно), $1 + 0 ≤ 1$ (верно). Вершина принадлежит $I$.
• $C(0, 1, 0): 0 ≥ 0$ (верно), $1 + 0 ≤ 1$ (верно). Вершина принадлежит $I$.
• $D₁(0, 0, 1): 0 ≥ 1$ (неверно). Вершина не принадлежит $I$.
• $A₁(1, 0, 1): 1 ≥ 1$ (верно), $0 + 1 ≤ 1$ (верно). Вершина принадлежит $I$.
• $B₁(1, 1, 1): 1 ≥ 1$ (верно), $1 + 1 ≤ 1$ (неверно). Вершина не принадлежит $I$.
• $C₁(0, 1, 1): 0 ≥ 1$ (неверно). Вершина не принадлежит $I$.

Таким образом, вершинами искомого многогранника являются точки $D, A, B, C, A₁$. Вершины $D, A, B, C$ образуют квадрат $ABCD$ в плоскости $z=0$, который является основанием исходного куба. Точка $A₁$ лежит вне этой плоскости. Следовательно, искомый многогранник — это пирамида $A₁-ABCD$.

Найдем объем этой пирамиды. Основание пирамиды — квадрат $ABCD$ с площадью $S_осн = a² = 1² = 1$. Высота пирамиды $h$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A₁$ на плоскость основания $ABCD$ (плоскость $z=0$). Длина этого перпендикуляра равна z-координате точки $A₁(1, 0, 1)$, то есть $h = 1$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = 1/3 * S_осн * h$ $V = 1/3 * 1 * 1 = 1/3$

Ответ: $1/3$.