Номер 26.33, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.33. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 26.17) найдите объем

общей части двух призм $ADA_1B_1BCB_1$ и $BA_1B_1CD_1C_1$.

Рис. 26.17

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a=1$.
Призма $P_1 = ADA_1BCB_1$.
Призма $P_2 = BA_1B_1CD_1C_1$.

Найти:

Объем $V$ общей части (пересечения) призм $P_1$ и $P_2$.

Решение:

Введем декартову систему координат, приняв вершину $A$ за начало координат, а ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ за направления осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:
$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Первая призма $P_1 = ADA_1BCB_1$ представляет собой тело, ограниченное в кубе плоскостью, проходящей через вершины $A_1, D, C, B_1$. Уравнение этой плоскости имеет вид $y+z=1$. Таким образом, призма $P_1$ — это множество точек внутри куба, для которых выполняется условие $y+z \le 1$.

Вторая призма $P_2 = BA_1B_1CD_1C_1$ представляет собой тело, ограниченное в кубе плоскостью, проходящей через вершины $A_1, B, C, D_1$. Уравнение этой плоскости имеет вид $x+z=1$. Призма $P_2$ — это множество точек внутри куба, для которых выполняется условие $x+z \ge 1$.

Таким образом, общая часть двух призм — это многогранник, определяемый внутри единичного куба системой неравенств:
$y+z \le 1$
$x+z \ge 1$

Найдем вершины этого многогранника. Вершины должны удовлетворять как условиям принадлежности кубу ($0 \le x,y,z \le 1$), так и указанным неравенствам. Граничные точки будут лежать на плоскостях $y+z=1$ или $x+z=1$.

1. Проверим вершины куба:
$A(0,0,0): 0+0 \le 1$, но $0+0 < 1$ (не удовлетворяет $x+z \ge 1$).
$B(1,0,0): 0+0 \le 1$ и $1+0 \ge 1$ (удовлетворяет). Это вершина B.
$C(1,1,0): 1+0 \le 1$ и $1+0 \ge 1$ (удовлетворяет). Это вершина C.
$D(0,1,0): 1+0 \le 1$, но $0+0 < 1$ (не удовлетворяет $x+z \ge 1$).
$A_1(0,0,1): 0+1 \le 1$ и $0+1 \ge 1$ (удовлетворяет). Это вершина A₁.
$B_1(1,0,1): 0+1 \le 1$ и $1+1 \ge 1$ (удовлетворяет). Это вершина B₁.
$C_1(1,1,1): 1+1 > 1$ (не удовлетворяет $y+z \le 1$).
$D_1(0,1,1): 1+1 > 1$ (не удовлетворяет $y+z \le 1$).

2. Линия пересечения плоскостей $y+z=1$ и $x+z=1$ задается системой $z=1-y, z=1-x$, откуда следует $x=y$. Эта линия $x=y, z=1-x$ пересекает куб по отрезку между точками $A_1(0,0,1)$ и $C(1,1,0)$, которые уже найдены как вершины.

Следовательно, искомый многогранник — это тетраэдр с вершинами $A_1(0,0,1)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$ и $B_1(1,0,1)$, который обозначим $A_1BCB_1$.

Для нахождения объема тетраэдра $A_1BCB_1$ выберем в качестве основания треугольник $BCB_1$. Этот треугольник лежит в плоскости $x=1$. Он является прямоугольным, так как ребро $BC$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$ и, следовательно, ребру $BB_1$.

Площадь основания $S_{\triangle BCB_1}$ равна:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Высотой тетраэдра $h$, опущенной из вершины $A_1$ на плоскость основания ($x=1$), является перпендикулярное расстояние от точки $A_1(0,0,1)$ до плоскости $x=1$. Это расстояние равно $h = |1-0| = 1$.

Объем тетраэдра вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{6}$

Ответ: $V = \frac{1}{6}$.