Номер 26.36, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.36. Объем одной треугольной пирамиды равен $1 \text{ см}^3$. Вторая пирамида зеркально-симметрична данной относительно плоскости, проходящей через середину высоты и параллельной основанию этой пирамиды. Найдите объем общей части этих пирамид.

Дано:

Объем исходной треугольной пирамиды $V_1 = 1 \text{ см}^3$.

Вторая пирамида является зеркально-симметричной копией первой относительно плоскости, которая проходит через середину высоты исходной пирамиды и параллельна ее основанию.

Найти:

Объем общей части этих двух пирамид, $V_{общ}$.

Решение:

Пусть исходная пирамида $P_1$ имеет высоту $H$ и площадь основания $S_{осн}$. Ее объем определяется по формуле:

$V_1 = \frac{1}{3}S_{осн}H = 1 \text{ см}^3$

Плоскость симметрии $\Pi$ проходит через середину высоты $H$ и параллельна основанию. Это означает, что плоскость $\Pi$ отсекает от исходной пирамиды $P_1$ меньшую пирамиду (назовем ее $P_{1,верх}$), подобную исходной. Высота этой меньшей пирамиды составляет $h_{верх} = \frac{H}{2}$.

Коэффициент подобия $k$ между пирамидой $P_{1,верх}$ и исходной пирамидой $P_1$ равен отношению их высот:

$k = \frac{h_{верх}}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Площадь основания $S_{верх}$ пирамиды $P_{1,верх}$ (которая является сечением пирамиды $P_1$ плоскостью $\Pi$) относится к площади основания $S_{осн}$ как квадрат коэффициента подобия:

$S_{верх} = k^2 S_{осн} = (\frac{1}{2})^2 S_{осн} = \frac{1}{4}S_{осн}$

Объем пирамиды $P_{1,верх}$ равен:

$V_{1,верх} = \frac{1}{3}S_{верх}h_{верх} = \frac{1}{3}(\frac{1}{4}S_{осн})(\frac{H}{2}) = \frac{1}{8}(\frac{1}{3}S_{осн}H) = \frac{1}{8}V_1$

Вторая пирамида $P_2$ является зеркальным отражением $P_1$ относительно плоскости $\Pi$. Ее вершина находится в центре основания пирамиды $P_1$, а ее основание лежит в плоскости, где находилась вершина $P_1$. Пирамида $P_2$ также рассекается плоскостью $\Pi$ на подобную ей меньшую пирамиду $P_{2,низ}$ с высотой $\frac{H}{2}$ и усеченную пирамиду.

Общая часть (пересечение) двух пирамид $P_1$ и $P_2$ представляет собой тело, состоящее из двух меньших пирамид: $P_{1,верх}$ и $P_{2,низ}$, соединенных своими основаниями в плоскости $\Pi$.

Это можно понять, рассмотрев сечения пирамид плоскостями, параллельными основанию. На высоте $z$ от основания $P_1$ (где $0 \le z \le H$):

• Площадь сечения $P_1$: $S_1(z) = S_{осн} \cdot (1 - \frac{z}{H})^2$
• Площадь сечения $P_2$: $S_2(z) = S_{осн} \cdot (\frac{z}{H})^2$

При $z > H/2$ площадь сечения $S_2(z)$ больше $S_1(z)$, поэтому сечение $P_1$ полностью содержится в сечении $P_2$. Следовательно, верхняя часть пересечения совпадает с $P_{1,верх}$.

При $z < H/2$ площадь сечения $S_1(z)$ больше $S_2(z)$, поэтому сечение $P_2$ полностью содержится в сечении $P_1$. Следовательно, нижняя часть пересечения совпадает с $P_{2,низ}$.

Таким образом, объем общей части $V_{общ}$ равен сумме объемов этих двух меньших пирамид:

$V_{общ} = V_{1,верх} + V_{2,низ}$

В силу симметрии, пирамиды $P_{1,верх}$ и $P_{2,низ}$ конгруэнтны, и их объемы равны:

$V_{1,верх} = V_{2,низ} = \frac{1}{8}V_1$

Тогда итоговый объем общей части:

$V_{общ} = \frac{1}{8}V_1 + \frac{1}{8}V_1 = \frac{2}{8}V_1 = \frac{1}{4}V_1$

Подставляя известное значение $V_1 = 1 \text{ см}^3$:

$V_{общ} = \frac{1}{4} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0.25 \text{ см}^3$

Ответ: 0,25 см³.