Номер 26.37, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.37. Объем одного правильного тетраэдра равен 1 см. Второй правильный тетраэдр центрально-симметричен данному относительно середины отрезка, соединяющего середины двух противолежащих ребер. Найдите объем их общей части.

Дано:
Объем первого правильного тетраэдра, $V_1 = 1 \text{ см}^3$.
Второй правильный тетраэдр $T_2$ центрально-симметричен первому тетраэдру $T_1$ относительно середины отрезка, соединяющего середины двух противолежащих ребер (то есть, относительно центра тетраэдра).

$V_1 = 1 \text{ см}^3 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:
Объем общей части двух тетраэдров, $V_{общ}$.

Решение:
Пусть первый правильный тетраэдр называется $T_1$, а его объем $V_1 = 1 \text{ см}^3$. Второй тетраэдр $T_2$ получен из $T_1$ центральной симметрией относительно центра тетраэдра $T_1$. Обозначим этот центр как точку $O$.
Общая часть двух тетраэдров представляет собой многогранник, являющийся их пересечением $T_1 \cap T_2$. Объем этой общей части $V_{общ}$ можно найти, вычтя из объема первого тетраэдра $V_1$ объемы тех его частей, которые не принадлежат второму тетраэдру $T_2$.
При центральной симметрии каждая из 4 вершин тетраэдра $T_1$ переходит в вершину тетраэдра $T_2$, а каждая из 4 граней $T_1$ переходит в грань $T_2$.
Рассмотрим одну из вершин тетраэдра $T_1$, назовем ее $A$. Грань тетраэдра $T_2$, симметричная противоположной вершине $A$ грани тетраэдра $T_1$, отсекает от тетраэдра $T_1$ вблизи вершины $A$ малый тетраэдр, подобный исходному.
Найдем коэффициент подобия $k$ между малым отсеченным тетраэдром и исходным тетраэдром $T_1$. Для этого рассмотрим высоту $h$ тетраэдра $T_1$, опущенную из вершины $A$. Центр правильного тетраэдра $O$ делит высоту в отношении 3:1, считая от вершины. То есть расстояние от вершины $A$ до центра $O$ равно $ \frac{3}{4}h $, а расстояние от центра $O$ до основания (грани, противоположной вершине $A$) равно $ \frac{1}{4}h $.
Секущая плоскость (грань тетраэдра $T_2$) симметрична основанию тетраэдра $T_1$ относительно центра $O$. Следовательно, расстояние от центра $O$ до этой секущей плоскости также равно $ \frac{1}{4}h $.
Таким образом, высота малого тетраэдра, отсекаемого от вершины $A$, равна разности расстояний от вершины $A$ до центра $O$ и от секущей плоскости до центра $O$:
$h_{малый} = \frac{3}{4}h - \frac{1}{4}h = \frac{2}{4}h = \frac{1}{2}h$.
Коэффициент подобия малого отсеченного тетраэдра исходному $T_1$ равен отношению их высот:
$k = \frac{h_{малый}}{h} = \frac{1/2 \cdot h}{h} = \frac{1}{2}$.
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Значит, объем одного малого отсеченного тетраэдра $V_{малый}$ составляет:
$V_{малый} = k^3 \cdot V_1 = (\frac{1}{2})^3 \cdot V_1 = \frac{1}{8}V_1$.
У тетраэдра $T_1$ четыре вершины, и от каждой из них отсекается по одному такому малому тетраэдру. Общий объем всех отсеченных частей $V_{отс}$ равен:
$V_{отс} = 4 \cdot V_{малый} = 4 \cdot \frac{1}{8}V_1 = \frac{1}{2}V_1$.
Объем общей части $V_{общ}$ равен объему исходного тетраэдра $V_1$ за вычетом общего объема отсеченных частей:
$V_{общ} = V_1 - V_{отс} = V_1 - \frac{1}{2}V_1 = \frac{1}{2}V_1$.
Подставляя данное значение $V_1 = 1 \text{ см}^3$, получаем:
$V_{общ} = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0.5 \text{ см}^3$.
Интересно отметить, что общая часть двух таких тетраэдров является правильным октаэдром.
Ответ: $0.5 \text{ см}^3$.