Вопросы, страница 156 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как вычисляется объем конуса?

2. Как вычисляется объем усеченного конуса?

Как вычисляется объем конуса?

Решение:
Объем конуса — это мера пространства, которое он занимает. Он вычисляется как одна треть произведения площади его основания на высоту.
Основанием конуса является круг. Площадь круга ($S_{\text{осн}}$) с радиусом $r$ вычисляется по формуле:
$S_{\text{осн}} = \pi r^2$
где $\pi$ — математическая константа, приблизительно равная 3,14159.
Высота конуса ($h$) — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.
Таким образом, формула для вычисления объема ($V$) конуса имеет вид:
$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$
Подставив формулу площади основания, получаем:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
Здесь $V$ — объем конуса, $r$ — радиус основания конуса, $h$ — высота конуса.

Ответ: Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

2. Как вычисляется объем усеченного конуса?

Решение:
Усеченный конус — это часть конуса, заключенная между его основанием и плоскостью, параллельной основанию. Усеченный конус имеет два основания — нижнее и верхнее, которые являются кругами с разными радиусами.
Для вычисления объема усеченного конуса используются следующие величины:
- $R$ — радиус большего (нижнего) основания. - $r$ — радиус меньшего (верхнего) основания. - $h$ — высота усеченного конуса (расстояние между основаниями).
Формула для вычисления объема ($V$) усеченного конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$
Эту формулу можно получить, рассмотрев усеченный конус как разность объемов двух конусов: большого конуса (из которого получен усеченный) и малого конуса (который был "отсечен" сверху).
Пусть $H$ — высота полного конуса, а $h_1$ — высота отсеченного малого конуса. Тогда высота усеченного конуса $h = H - h_1$.
Из подобия треугольников в осевом сечении следует: $\frac{r}{R} = \frac{h_1}{H}$.
Объем усеченного конуса равен разности объемов:
$V_{\text{ус.}} = V_{\text{большого}} - V_{\text{малого}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi r^2 h_1$.
После математических преобразований с использованием отношения подобия получается итоговая формула.

Ответ: Объем усеченного конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$, где $R$ и $r$ — радиусы его оснований, а $h$ — высота.