Номер 27.1, страница 156 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.1. Во сколько раз увеличится объем конуса, если:

а) высоту увеличить в три раза;

б) радиус основания увеличить в два раза?

Дано:

Конус с начальным объемом $V_1$, начальным радиусом основания $R_1$ и начальной высотой $h_1$.

а) Новый конус с высотой $h_2 = 3h_1$ и радиусом $R_2 = R_1$.

б) Новый конус с радиусом $R_2 = 2R_1$ и высотой $h_2 = h_1$.

Найти:

Во сколько раз увеличится объем конуса в каждом случае, то есть найти отношение $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Формула для вычисления объема конуса имеет вид:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$

где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

Начальный объем конуса равен $V_1 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 h_1$.

а) высоту увеличить в три раза

По условию этого пункта, радиус основания остается неизменным ($R_2 = R_1$), а высота увеличивается в три раза ($h_2 = 3h_1$).

Подставим новые значения в формулу объема, чтобы найти новый объем $V_2$:

$V_2 = \frac{1}{3} \pi R_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 (3h_1)$

Сгруппируем множители, чтобы выразить новый объем через начальный:

$V_2 = 3 \cdot (\frac{1}{3} \pi R_1^2 h_1) = 3V_1$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема $V_2$ к начальному $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{3V_1}{V_1} = 3$

Ответ: в 3 раза.

б) радиус основания увеличить в два раза

По условию этого пункта, высота остается неизменной ($h_2 = h_1$), а радиус основания увеличивается в два раза ($R_2 = 2R_1$).

Подставим новые значения в формулу, чтобы найти новый объем $V_2$:

$V_2 = \frac{1}{3} \pi R_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi (2R_1)^2 h_1$

Возведем выражение в скобках в квадрат: $(2R_1)^2 = 4R_1^2$.

$V_2 = \frac{1}{3} \pi (4R_1^2) h_1$

Сгруппируем множители, чтобы выразить новый объем через начальный:

$V_2 = 4 \cdot (\frac{1}{3} \pi R_1^2 h_1) = 4V_1$

Найдем, во сколько раз увеличился объем:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{4V_1}{V_1} = 4$

Ответ: в 4 раза.