Страница 156 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как вычисляется объем конуса?

2. Как вычисляется объем усеченного конуса?

Как вычисляется объем конуса?

Решение:
Объем конуса — это мера пространства, которое он занимает. Он вычисляется как одна треть произведения площади его основания на высоту.
Основанием конуса является круг. Площадь круга ($S_{\text{осн}}$) с радиусом $r$ вычисляется по формуле:
$S_{\text{осн}} = \pi r^2$
где $\pi$ — математическая константа, приблизительно равная 3,14159.
Высота конуса ($h$) — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.
Таким образом, формула для вычисления объема ($V$) конуса имеет вид:
$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$
Подставив формулу площади основания, получаем:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
Здесь $V$ — объем конуса, $r$ — радиус основания конуса, $h$ — высота конуса.

Ответ: Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

2. Как вычисляется объем усеченного конуса?

Решение:
Усеченный конус — это часть конуса, заключенная между его основанием и плоскостью, параллельной основанию. Усеченный конус имеет два основания — нижнее и верхнее, которые являются кругами с разными радиусами.
Для вычисления объема усеченного конуса используются следующие величины:
- $R$ — радиус большего (нижнего) основания. - $r$ — радиус меньшего (верхнего) основания. - $h$ — высота усеченного конуса (расстояние между основаниями).
Формула для вычисления объема ($V$) усеченного конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$
Эту формулу можно получить, рассмотрев усеченный конус как разность объемов двух конусов: большого конуса (из которого получен усеченный) и малого конуса (который был "отсечен" сверху).
Пусть $H$ — высота полного конуса, а $h_1$ — высота отсеченного малого конуса. Тогда высота усеченного конуса $h = H - h_1$.
Из подобия треугольников в осевом сечении следует: $\frac{r}{R} = \frac{h_1}{H}$.
Объем усеченного конуса равен разности объемов:
$V_{\text{ус.}} = V_{\text{большого}} - V_{\text{малого}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi r^2 h_1$.
После математических преобразований с использованием отношения подобия получается итоговая формула.

Ответ: Объем усеченного конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$, где $R$ и $r$ — радиусы его оснований, а $h$ — высота.

27.1. Во сколько раз увеличится объем конуса, если:

а) высоту увеличить в три раза;

б) радиус основания увеличить в два раза?

Дано:

Конус с начальным объемом $V_1$, начальным радиусом основания $R_1$ и начальной высотой $h_1$.

а) Новый конус с высотой $h_2 = 3h_1$ и радиусом $R_2 = R_1$.

б) Новый конус с радиусом $R_2 = 2R_1$ и высотой $h_2 = h_1$.

Найти:

Во сколько раз увеличится объем конуса в каждом случае, то есть найти отношение $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Формула для вычисления объема конуса имеет вид:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$

где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

Начальный объем конуса равен $V_1 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 h_1$.

а) высоту увеличить в три раза

По условию этого пункта, радиус основания остается неизменным ($R_2 = R_1$), а высота увеличивается в три раза ($h_2 = 3h_1$).

Подставим новые значения в формулу объема, чтобы найти новый объем $V_2$:

$V_2 = \frac{1}{3} \pi R_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 (3h_1)$

Сгруппируем множители, чтобы выразить новый объем через начальный:

$V_2 = 3 \cdot (\frac{1}{3} \pi R_1^2 h_1) = 3V_1$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема $V_2$ к начальному $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{3V_1}{V_1} = 3$

Ответ: в 3 раза.

б) радиус основания увеличить в два раза

По условию этого пункта, высота остается неизменной ($h_2 = h_1$), а радиус основания увеличивается в два раза ($R_2 = 2R_1$).

Подставим новые значения в формулу, чтобы найти новый объем $V_2$:

$V_2 = \frac{1}{3} \pi R_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi (2R_1)^2 h_1$

Возведем выражение в скобках в квадрат: $(2R_1)^2 = 4R_1^2$.

$V_2 = \frac{1}{3} \pi (4R_1^2) h_1$

Сгруппируем множители, чтобы выразить новый объем через начальный:

$V_2 = 4 \cdot (\frac{1}{3} \pi R_1^2 h_1) = 4V_1$

Найдем, во сколько раз увеличился объем:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{4V_1}{V_1} = 4$

Ответ: в 4 раза.

27.2. Изменится ли объем конуса, если радиус основания увеличить в два раза, а высоту уменьшить в два раза?

27.3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Вычислите...

Дано:
Пусть $V_1$ - первоначальный объем конуса, $r_1$ - первоначальный радиус основания, $h_1$ - первоначальная высота.
Новый радиус основания $r_2 = 2r_1$.
Новая высота $h_2 = \frac{h_1}{2}$.

Найти:
Как изменится объем конуса, то есть найти отношение $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:
Формула для вычисления объема конуса имеет вид:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
где $r$ - радиус основания, а $h$ - высота конуса.

Первоначальный объем конуса $V_1$ равен:
$V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1$

Найдем новый объем конуса $V_2$ с измененными радиусом $r_2$ и высотой $h_2$.
Подставим значения $r_2 = 2r_1$ и $h_2 = \frac{h_1}{2}$ в формулу объема:
$V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi (2r_1)^2 \left(\frac{h_1}{2}\right)$

Упростим полученное выражение:
$V_2 = \frac{1}{3} \pi (4r_1^2) \frac{h_1}{2} = \frac{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1\right)$

Так как выражение в скобках равно первоначальному объему $V_1$, получаем:
$V_2 = 2 \cdot V_1$

Таким образом, новый объем конуса в два раза больше первоначального.

Ответ: Да, изменится. Объем конуса увеличится в 2 раза.

27.3. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту.

Вычислите объем конуса, если объем цилиндра равен $15 \text{ cm}^3$.

Дано:

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту.

Объем цилиндра $V_{цил} = 15 \text{ см}^3$.

Найти:

Объем конуса $V_{кон}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V_{цил} = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота.

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V_{кон} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

По условию задачи, цилиндр и конус имеют общее основание и высоту, следовательно, их площади основания $S_{осн}$ и высоты $h$ равны.

Сравнивая формулы, можно установить связь между объемами этих двух тел:

$V_{кон} = \frac{1}{3} (S_{осн} \cdot h) = \frac{1}{3} V_{цил}$

Таким образом, объем конуса в три раза меньше объема цилиндра с такими же основанием и высотой.

Подставим известное значение объема цилиндра в полученное соотношение:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \cdot 15 \text{ см}^3 = 5 \text{ см}^3$

Ответ: 5 см³.

27.4. Объем конуса равен $V$. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. В каком отношении находятся объемы полученных частей конуса?

Дано:

Объем исходного конуса $V$.

Сечение, параллельное основанию, делит высоту конуса пополам.

Найти:

Отношение объемов полученных частей конуса.

Решение:

Пусть высота исходного конуса равна $H$, а радиус его основания — $R$. Объем исходного конуса $V$ определяется формулой:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус (верхнюю часть) и оставляет усеченный конус (нижнюю часть).

Меньший конус подобен исходному. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их высот. По условию, высота меньшего конуса $H_1$ вдвое меньше высоты исходного конуса $H$:

$H_1 = \frac{H}{2}$

Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{H_1}{H} = \frac{1}{2}$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Обозначим объем меньшего конуса как $V_1$. Тогда:

$\frac{V_1}{V} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$

Отсюда, объем меньшего конуса (верхней части) составляет:

$V_1 = \frac{1}{8}V$

Объем второй части, усеченного конуса ($V_2$), равен разности объемов исходного конуса и меньшего конуса:

$V_2 = V - V_1 = V - \frac{1}{8}V = \frac{7}{8}V$

Теперь найдем отношение объемов полученных частей — меньшего конуса ($V_1$) и усеченного конуса ($V_2$):

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{8}V}{\frac{7}{8}V} = \frac{1}{7}$

Таким образом, объемы верхней и нижней частей относятся как 1:7.

Ответ: Объемы полученных частей конуса находятся в отношении 1:7.

объемы полученных частей конуса.

27.5. Высота конуса 3 см, образующая 5 см. Найдите его объем.

Дано:
Высота конуса $h = 3$ см
Образующая конуса $l = 5$ см

Перевод данных в Международную систему единиц (СИ):
$h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$l = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:
Объем конуса $V$

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$, где $R$ - радиус основания конуса, а $h$ - его высота.

Высота $h$, образующая $l$ и радиус основания $R$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. Согласно теореме Пифагора, их длины связаны соотношением: $l^2 = R^2 + h^2$.

Для нахождения объема нам необходимо сначала вычислить радиус основания $R$. Выразим квадрат радиуса $R^2$ из теоремы Пифагора и подставим известные значения (для удобства вычислений используем сантиметры):
$R^2 = l^2 - h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \text{ см}^2$.
Следовательно, радиус основания $R = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Теперь, зная радиус и высоту, мы можем вычислить объем конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot (4 \text{ см})^2 \cdot 3 \text{ см} = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см}$.

Сократив на 3, получаем:
$V = 16\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $16\pi \text{ см}^3$.

27.6. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке 27.3, если радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 6 см, $ \angle AOB = 60^\circ $.

Рис. 27.3

Дано:

Радиус основания конуса $R = 3$ см

Высота конуса $H = 6$ см

Центральный угол сектора в основании $\angle AOB = 60°$

Перевод в систему СИ:
$R = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$H = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем части конуса $V_{части}$.

Решение:

Объем всего конуса вычисляется по формуле:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти объем всего конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot (3 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 18\pi \text{ см}^3$

Часть конуса, изображенная на рисунке, представляет собой тело, основанием которого является сектор круга с центральным углом $60°$. Объем этой части прямо пропорционален мере центрального угла ее основания.

Найдем, какую долю от полного круга $(360°)$ составляет сектор с углом $60°$:

$\frac{60°}{360°} = \frac{1}{6}$

Следовательно, объем искомой части конуса составляет $\frac{1}{6}$ от объема всего конуса.

Вычислим объем этой части:

$V_{части} = V_{конуса} \cdot \frac{1}{6} = 18\pi \text{ см}^3 \cdot \frac{1}{6} = 3\pi \text{ см}^3$

Ответ: $3\pi \text{ см}^3$.

27.7. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке 27.4, если радиус основания конуса равен 2 см, высота равна 3 см, $ \angle AOB = 90^\circ $.

Рис. 27.4

Дано:

Радиус основания конуса $r = 2$ см

Высота конуса $h = 3$ см

Центральный угол в основании части конуса $\angle AOB = 90^\circ$

Найти:

Объем части конуса $V_{части}$.

Решение:

Сначала найдем объем всего конуса. Формула для объема конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим в нее данные из условия задачи:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot (2 \text{ см})^2 \cdot (3 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 4\pi \text{ см}^3$

Изображенная на рисунке часть конуса ограничена сектором в основании с центральным углом $\angle AOB = 90^\circ$.

Полная окружность основания имеет угол $360^\circ$. Найдем, какую долю от всего конуса составляет данная часть. Для этого разделим угол сектора на угол полной окружности:

$\frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4}$

Следовательно, объем искомой части конуса составляет $\frac{1}{4}$ от объема всего конуса.

Теперь вычислим объем этой части:

$V_{части} = \frac{1}{4} \cdot V_{конуса} = \frac{1}{4} \cdot 4\pi \text{ см}^3 = \pi \text{ см}^3$

Ответ: $\pi$ см$^3$.

27.8. Найдите объем усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 1 см и 2 см, а высота равна 3 см.

Дано:
Усеченный конус
Радиус меньшего основания $r = 1$ см
Радиус большего основания $R = 2$ см
Высота $h = 3$ см

Перевод данных в систему СИ:
$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:
Объем усеченного конуса $V$.

Решение:
Объем усеченного конуса определяется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$
где $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $h$ — высота.
Подставим известные значения в формулу (для удобства вычислений используем сантиметры):
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2)$
Сократим множитель 3 в числителе и знаменателе:
$V = \pi \cdot (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2)$
Выполним вычисления в скобках:
$V = \pi \cdot (4 + 2 + 1)$
$V = \pi \cdot 7$
Таким образом, объем усеченного конуса равен:
$V = 7\pi \text{ см}^3$

Ответ: $7\pi \text{ см}^3$.