Страница 159 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27.28. Повторите определение шара и принцип Кавальери.

Определение шара

Шар — это геометрическое тело, которое представляет собой совокупность всех точек трёхмерного пространства, находящихся от заданной точки (называемой центром шара) на расстоянии, не превышающем заданное неотрицательное число (называемое радиусом шара).
Если обозначить центр шара буквой $O$, а его радиус буквой $R$, то шар состоит из всех точек пространства $M$, для которых выполняется неравенство $OM \le R$.
Граница (поверхность) шара называется сферой. Важно понимать различие: сфера — это двумерная поверхность (пустая "оболочка"), в то время как шар — это трёхмерное тело, включающее в себя и сферу, и всё пространство внутри неё.

Ответ: Шар — это тело в пространстве, состоящее из всех точек, расстояние которых от данной точки (центра) не превышает заданного расстояния (радиуса).

Принцип Кавальери

Принцип Кавальери, также известный как метод неделимых, — это утверждение в геометрии, позволяющее сравнивать объёмы двух пространственных тел.
Формулировка принципа: если два тела могут быть помещены между двумя параллельными плоскостями, и любая плоскость, параллельная этим двум, пересекает оба тела по сечениям одинаковой площади, то объёмы этих тел равны.
Более формально: пусть два тела $T_1$ и $T_2$ расположены между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Если для любой плоскости $\gamma$, параллельной $\alpha$ и находящейся между $\alpha$ и $\beta$, площади сечений $S_1 = S(\gamma \cap T_1)$ и $S_2 = S(\gamma \cap T_2)$ равны, то объёмы тел $V_1$ и $V_2$ также равны ($V_1=V_2$).
Этот принцип является геометрическим аналогом идеи из интегрального исчисления, согласно которой объём тела можно найти, проинтегрировав площадь его поперечного сечения по высоте: $V = \int_{a}^{b} S(h) dh$. Если функции площади сечения $S_1(h)$ и $S_2(h)$ у двух тел одинаковы, то и их объёмы, вычисленные как интегралы, будут равны.
Принцип Кавальери является мощным инструментом для вывода формул объёмов конуса, пирамиды и шара.

Ответ: Принцип Кавальери гласит, что если два тела имеют одинаковую высоту, и площади их поперечных сечений, проведённых на одинаковом расстоянии от оснований, равны для любой такой высоты, то объёмы этих тел равны.