Страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28.25. Найдите объем шарового пояса, если радиусы его оснований равны 3 см и 4 см, а радиус шара — 5 см.

Дано:

Радиус первого основания шарового пояса, $r_1 = 3$ см
Радиус второго основания шарового пояса, $r_2 = 4$ см
Радиус шара, $R = 5$ см

Переведем данные в систему СИ:
$r_1 = 0.03$ м
$r_2 = 0.04$ м
$R = 0.05$ м

Найти:

Объем шарового пояса, $V$.

Решение:

Объем шарового пояса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{6}\pi h(3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$
где $h$ — высота шарового пояса, $r_1$ и $r_2$ — радиусы его оснований.

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим осевое сечение шара. В сечении мы получим круг радиуса $R$, а основания шарового пояса будут представлены хордами. Найдем расстояния от центра шара до плоскостей оснований ($d_1$ и $d_2$) по теореме Пифагора:

$d_1 = \sqrt{R^2 - r_1^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

$d_2 = \sqrt{R^2 - r_2^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

В условии задачи не указано, как расположены основания шарового пояса относительно центра шара. Поэтому возможны два случая.

Случай 1: Основания расположены по одну сторону от центра шара.
В этом случае высота шарового пояса равна разности расстояний от центра до плоскостей оснований:
$h = |d_1 - d_2| = |4 - 3| = 1$ см.
Подставим значения в формулу для объема:
$V_1 = \frac{1}{6}\pi \cdot 1 \cdot (3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 4^2 + 1^2) = \frac{\pi}{6}(3 \cdot 9 + 3 \cdot 16 + 1) = \frac{\pi}{6}(27 + 48 + 1) = \frac{76\pi}{6} = \frac{38\pi}{3}$ см$^3$.

Случай 2: Основания расположены по разные стороны от центра шара.
В этом случае высота шарового пояса равна сумме расстояний от центра до плоскостей оснований:
$h = d_1 + d_2 = 4 + 3 = 7$ см.
Подставим значения в формулу для объема:
$V_2 = \frac{1}{6}\pi \cdot 7 \cdot (3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 4^2 + 7^2) = \frac{7\pi}{6}(3 \cdot 9 + 3 \cdot 16 + 49) = \frac{7\pi}{6}(27 + 48 + 49) = \frac{7\pi}{6}(124) = \frac{868\pi}{6} = \frac{434\pi}{3}$ см$^3$.

Так как в условии нет уточнений о расположении оснований, задача имеет два возможных решения.

Ответ:объем шарового пояса равен $\frac{38\pi}{3}$ см$^3$, если основания лежат по одну сторону от центра шара, или $\frac{434\pi}{3}$ см$^3$, если основания лежат по разные стороны от центра шара.

28.26. Дан единичный куб. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этого куба (рис. 28.17). Найдите объем общей части куба и шара.

Рис. 28.17

Дано:

Куб - единичный, сторона $a = 1$ условная единица.

Шар с центром в вершине куба, радиус $R = 1$ см.

Примем, что сторона куба также равна 1 см, т.е. $a = 1$ см.

$a = 1$ см
$R = 1$ см

Найти:

Объем общей части куба и шара - $V_{общ}$.

Решение:

Для решения задачи разместим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина куба, которая является центром шара, находится в начале координат - в точке $O(0; 0; 0)$. Направим рёбра куба, выходящие из этой вершины, вдоль положительных направлений осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$.

Так как куб единичный, его сторона $a=1$. Тогда куб занимает область пространства, определяемую неравенствами: $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$. Эта область полностью находится в первом октанте координатной системы.

Шар имеет центр в начале координат $O(0; 0; 0)$ и радиус $R=1$ см. Область, занимаемая шаром, описывается неравенством $x^2 + y^2 + z^2 \le R^2$, то есть $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$.

Нам нужно найти объём пересечения этих двух тел. Это объём той части шара, которая находится внутри куба.

Рассмотрим любую точку $(x, y, z)$, принадлежащую шару и находящуюся в первом октанте ($x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$). Для такой точки выполняется неравенство $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$.

Поскольку $y^2 \ge 0$ и $z^2 \ge 0$, то $x^2 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 1$. Отсюда следует, что $x^2 \le 1$. Так как мы рассматриваем первый октант, где $x \ge 0$, получаем $0 \le x \le 1$.

Аналогично, $y^2 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 1 \implies 0 \le y \le 1$.

И $z^2 \le x^2 + y^2 + z^2 \le 1 \implies 0 \le z \le 1$.

Таким образом, любая точка шара, находящаяся в первом октанте, удовлетворяет условиям $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$. Это означает, что вся часть шара, расположенная в первом октанте, полностью содержится внутри куба.

Координатные плоскости делят шар на 8 равных частей (октантов). Объем общей части куба и шара равен объёму одной такой части, то есть $1/8$ от общего объёма шара.

Объём шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим значение радиуса $R = 1$ см:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$ см$^3$.

Тогда объём общей части равен:

$V_{общ} = \frac{1}{8} V_{шара} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}\pi = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$ см$^3$.

Ответ: объём общей части куба и шара равен $\frac{\pi}{6}$ см$^3$.

28.27. Дана правильная четырехугольная пирамида, стороны основания которой равны 2 см, а высота равна 1 см. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этой пирамиды (рис. 28.18). Найдите объем общей части пирамиды и шара.

Рис. 28.18

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Сторона основания $a = AB = BC = CD = DA = 2$ см.

Высота пирамиды $h = SO = 1$ см (где S - вершина, O - центр основания).

Шар с центром в точке S.

Радиус шара $R = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$h = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем общей части пирамиды и шара - $V_{общ}$.

Решение:

Общая часть пирамиды и шара представляет собой тело, ограниченное боковыми гранями пирамиды и сферической поверхностью. Поскольку центр шара совпадает с вершиной пирамиды S, это тело является сферической пирамидой (или сферическим сектором, основанием которого является сферический многоугольник, высекаемый на сфере боковыми гранями пирамиды).

Объем такой сферической пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\Omega R^3$

где $R$ - радиус шара, а $\Omega$ - телесный угол при вершине пирамиды S, выраженный в стерадианах.

Для нахождения телесного угла воспользуемся теоремой, связывающей телесный угол с двугранными углами при боковых ребрах пирамиды:

$\Omega = \sum_{i=1}^{n} \gamma_i - (n-2)\pi$

где $n$ - число боковых граней, а $\gamma_i$ - внутренние двугранные углы между смежными боковыми гранями. В нашем случае пирамида правильная четырехугольная, поэтому $n=4$, и все двугранные углы $\gamma$ при боковых ребрах равны. Формула упрощается:

$\Omega = 4\gamma - 2\pi$

Найдем двугранный угол $\gamma$ между смежными боковыми гранями, например, между гранями SAB и SAD. Для этого введем систему координат. Поместим начало координат в центр основания O. Ось Oz направим вертикально вверх к вершине S. Тогда вершина S будет иметь координаты $S(0, 0, 1)$, так как высота $h=1$ см. Основание ABCD лежит в плоскости $z=0$. Так как сторона основания $a=2$ см, то координаты вершин основания будут: $A(-1, -1, 0)$, $B(1, -1, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(-1, 1, 0)$.

Двугранный угол между плоскостями SAB и SAD - это угол между их нормальными векторами. Найдем векторы нормалей $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$.

Для плоскости SAB найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{SA}$ и $\vec{SB}$:

$\vec{SA} = A - S = (-1, -1, -1)$

$\vec{SB} = B - S = (1, -1, -1)$

Вектор нормали $\vec{n_1}$ найдем как их векторное произведение:

$\vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{SB} = ((-1)(-1) - (-1)(-1), (-1)(1) - (-1)(1), (-1)(-1) - (1)(-1)) = (0, 0, 2)$. Для удобства возьмем коллинеарный вектор $(0, 0, 1)$. Это неверно, так как $\vec{SA}$ и $\vec{SB}$ не ортогональны. Используем векторы с общим началом в А: $\vec{AS}=(1,1,1)$ и $\vec{AB}=(2,0,0)$.

$\vec{n_1} = \vec{AS} \times \vec{AB} = ((1)(0)-(1)(0), (1)(2)-(1)(0), (1)(0)-(1)(2)) = (0, 2, -2)$. Для простоты возьмем коллинеарный вектор $\vec{n_1} = (0, 1, -1)$.

Для плоскости SAD используем векторы $\vec{AS}=(1,1,1)$ и $\vec{AD}=(0,2,0)$.

$\vec{n_2} = \vec{AD} \times \vec{AS} = ((2)(1)-(0)(1), (0)(1)-(0)(1), (0)(1)-(2)(1)) = (2, 0, -2)$. Для простоты возьмем коллинеарный вектор $\vec{n_2} = (1, 0, -1)$.

Теперь найдем косинус угла $\gamma$ между нормалями:

$\cos\gamma = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{(0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1)}{\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Полученный угол $\gamma = \arccos(1/2) = \pi/3 = 60^\circ$ является внешним углом. Внутренний двугранный угол будет $\pi - \pi/3 = 2\pi/3$. Уточним направление векторов. Чтобы векторы были направлены "наружу" из пирамиды, надо поменять знак одного из них, например, $\vec{n_1} = (0, -1, 1)$.

$\cos\gamma = \frac{(0)(1) + (-1)(0) + (1)(-1)}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$

Тогда внутренний двугранный угол $\gamma = \arccos(-1/2) = \frac{2\pi}{3}$ радиан ($120^\circ$).

Теперь вычислим телесный угол $\Omega$:

$\Omega = 4\gamma - 2\pi = 4 \cdot \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{8\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ стерадиан.

Наконец, найдем объем общей части пирамиды и шара:

$V_{общ} = \frac{1}{3}\Omega R^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot (1 \text{ см})^3 = \frac{2\pi}{9} \text{ см}^3$.

Ответ: объем общей части пирамиды и шара равен $\frac{2\pi}{9} \text{ см}^3$.

1. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его ребра увеличить в два раза:

A) $2$; B) $4$; C) $6$; D) $8$?

Дано:

Пусть $a_1$ — начальная длина ребра куба.

Пусть $a_2$ — конечная длина ребра куба.

Согласно условию, ребро увеличили в два раза: $a_2 = 2a_1$.

Найти:

Отношение конечного объема ($V_2$) к начальному объему ($V_1$), то есть $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Формула для вычисления объема куба с длиной ребра $a$ имеет вид:

$V = a^3$

1. Начальный объем куба ($V_1$) с ребром $a_1$ составляет:

$V_1 = a_1^3$

2. Конечный объем куба ($V_2$) с ребром $a_2 = 2a_1$ составляет:

$V_2 = (a_2)^3 = (2a_1)^3 = 2^3 \cdot a_1^3 = 8a_1^3$

3. Чтобы определить, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение конечного объема к начальному:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{8a_1^3}{a_1^3}$

Сокращая $a_1^3$ в числителе и знаменателе, получаем результат:

$\frac{V_2}{V_1} = 8$

Это означает, что объем куба увеличится в 8 раз. Данный результат соответствует варианту D).

Ответ: 8.

2. Площадь поверхности куба равна 12 $см^2$. Найдите его объем:

A) 2$\sqrt{2}$ $см^3$; B) 4 $см^3$; C) 4$\sqrt{2}$ $см^3$; D) 8 $см^3$.

Дано:

Площадь поверхности куба $S_{пов} = 12 \text{ см}^2$.

Перевод в систему СИ:

$S_{пов} = 12 \text{ см}^2 = 12 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 12 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0012 \text{ м}^2$.

Найти:

Объем куба $V$.

Решение:

Площадь полной поверхности куба ($S_{пов}$) состоит из суммы площадей шести его одинаковых граней. Каждая грань является квадратом. Если обозначить длину ребра куба как $a$, то площадь одной грани равна $a^2$.

Формула площади полной поверхности куба выглядит так:

$S_{пов} = 6a^2$

Используя данные из условия задачи, мы можем найти длину ребра $a$.

$12 \text{ см}^2 = 6a^2$

Чтобы найти $a^2$, разделим обе части уравнения на 6:

$a^2 = \frac{12}{6}$

$a^2 = 2 \text{ см}^2$

Теперь найдем длину ребра $a$, извлекая квадратный корень. Поскольку длина ребра не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение корня:

$a = \sqrt{2} \text{ см}$

Объем куба ($V$) вычисляется по формуле:

$V = a^3$

Подставим найденное значение длины ребра $a$ в формулу для объема:

$V = (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}^3$

Полученный результат соответствует варианту ответа А).

Ответ: $2\sqrt{2} \text{ см}^3$.

3. Найдите объем куба, описанного около сферы радиусом 2 см:

A) 32 $cm^3$; B) 64 $cm^3$; C) 128 $cm^3$; D) 256 $cm^3$.

Дано:

Радиус сферы $R = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:

Объем куба $V$.

Решение:

Если куб описан около сферы, это означает, что сфера вписана в этот куб. В таком случае сфера касается центров всех шести граней куба. Следовательно, длина ребра куба, которую мы обозначим как $a$, равна диаметру вписанной сферы $d$.

Диаметр сферы равен удвоенному радиусу $R$:

$d = 2R$

Таким образом, ребро куба равно диаметру сферы. Подставим значение радиуса:

$a = d = 2 \times R = 2 \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$

Объем куба $V$ вычисляется по формуле как длина его ребра в третьей степени:

$V = a^3$

Подставим найденное значение длины ребра в формулу для объема:

$V = (4 \text{ см})^3 = 64 \text{ см}^3$

Ответ: $64 \text{ см}^3$.

4. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем треугольной призмы, отсеченной этой плоскостью, если объем исходной призмы равен $8\text{ см}^3$:

A) $1\text{ см}^3$;

B) $2\text{ см}^3$;

C) $3\text{ см}^3$;

D) $4\text{ см}^3$.

Дано:

Исходная фигура — треугольная призма.

Объем исходной призмы $V_{исх} = 8 \text{ см}^3$.

Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания и параллельна боковому ребру.

$V_{исх} = 8 \text{ см}^3 = 8 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 8 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$.

Найти:

Объем отсеченной призмы $V_{отс}$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Для исходной призмы ее объем равен $V_{исх} = S_{исх} \cdot h$, где $S_{исх}$ — площадь треугольника в основании исходной призмы.

По условию, секущая плоскость проходит через среднюю линию основания призмы и параллельна боковому ребру. Это означает, что от исходной призмы отсекается другая, меньшая треугольная призма. Высота отсеченной призмы будет такой же, как и у исходной, так как секущая плоскость параллельна боковому ребру, а значит, и высоте. $h_{отс} = h_{исх} = h$.

Основанием отсеченной призмы является треугольник, который отсекается средней линией от треугольника в основании исходной призмы. Обозначим площадь основания отсеченной призмы как $S_{отс}$.

Средняя линия треугольника отсекает от него подобный ему треугольник. Коэффициент подобия этих треугольников равен $k = \frac{1}{2}$, так как стороны меньшего треугольника в два раза короче сторон исходного.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{отс}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда следует, что площадь основания отсеченной призмы в 4 раза меньше площади основания исходной призмы:

$S_{отс} = \frac{1}{4} S_{исх}$

Теперь найдем объем отсеченной призмы:

$V_{отс} = S_{отс} \cdot h = (\frac{1}{4} S_{исх}) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{исх} \cdot h)$

Так как $V_{исх} = S_{исх} \cdot h$, мы можем подставить это в формулу для объема отсеченной призмы:

$V_{отс} = \frac{1}{4} V_{исх}$

Подставим известное значение объема исходной призмы:

$V_{отс} = \frac{1}{4} \cdot 8 \text{ см}^3 = 2 \text{ см}^3$.

Ответ: 2 см³.