Страница 160 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно выведите формулу объема шарового пояса – части шара, за-ключенной между двумя параллельными плоскостями, пересекающими этот шар (рис. 28.3).

Рис. 28.3

Решение

Шаровой пояс — это часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Обозначим радиус шара как $R$, высоту шарового пояса (расстояние между плоскостями) как $h$, а радиусы оснований (круговых сечений), образованных этими плоскостями, как $r_1$ и $r_2$.

Для вывода формулы объема шарового пояса наиболее наглядно использовать метод интегрирования. Расположим центр шара в начале декартовой системы координат $(0, 0, 0)$ так, чтобы ось $Ox$ была перпендикулярна секущим плоскостям. В этой системе координат уравнение сферы имеет вид: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.

Шар можно представить как тело, образованное вращением вокруг оси $Ox$ кривой, заданной уравнением $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ (верхняя полуокружность) на отрезке $[-R, R]$.

Шаровой пояс образуется вращением дуги этой полуокружности, заключенной между двумя точками $x = x_1$ и $x = x_2$. Высота пояса при этом равна $h = |x_2 - x_1|$. Для определенности будем считать, что $x_2 > x_1$, тогда $h = x_2 - x_1$.

Объем тела вращения, полученного вращением графика функции $y = f(x)$ вокруг оси $Ox$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$V = \int_{a}^{b} \pi y^2 dx$

В нашем случае $y^2 = R^2 - x^2$, а пределы интегрирования — от $x_1$ до $x_2$. Таким образом, объем шарового пояса равен:

$V = \int_{x_1}^{x_2} \pi (R^2 - x^2) dx$

Вычислим этот определенный интеграл:

$V = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x_1}^{x_2} = \pi \left( (R^2x_2 - \frac{x_2^3}{3}) - (R^2x_1 - \frac{x_1^3}{3}) \right)$

Сгруппируем слагаемые:

$V = \pi \left( R^2(x_2 - x_1) - \frac{1}{3}(x_2^3 - x_1^3) \right)$

Используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и то, что $h = x_2 - x_1$, преобразуем выражение:

$V = \pi h \left( R^2 - \frac{1}{3}(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) \right) = \frac{\pi h}{3} (3R^2 - x_1^2 - x_1x_2 - x_2^2)$

Полученная формула выражает объем через $R$, $h$, $x_1$ и $x_2$. Преобразуем ее к виду, зависящему от $h$, $r_1$ и $r_2$. Радиусы оснований $r_1$ и $r_2$ связаны с координатами $x_1$ и $x_2$ соотношениями (по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников внутри шара):

$r_1^2 = R^2 - x_1^2$

$r_2^2 = R^2 - x_2^2$

Из этих равенств выразим $x_1^2$ и $x_2^2$:

$x_1^2 = R^2 - r_1^2$

$x_2^2 = R^2 - r_2^2$

Сложим эти два выражения: $x_1^2 + x_2^2 = 2R^2 - r_1^2 - r_2^2$. Отсюда можно выразить $R^2$:

$R^2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + r_1^2 + r_2^2}{2}$

Подставим это выражение для $R^2$ в нашу формулу для объема $V$:

$V = \frac{\pi h}{3} \left( 3\left(\frac{x_1^2 + x_2^2 + r_1^2 + r_2^2}{2}\right) - x_1^2 - x_1x_2 - x_2^2 \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю 2:

$V = \frac{\pi h}{6} \left( 3(x_1^2 + x_2^2 + r_1^2 + r_2^2) - 2(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) \right)$

Раскроем скобки и упростим:

$V = \frac{\pi h}{6} (3x_1^2 + 3x_2^2 + 3r_1^2 + 3r_2^2 - 2x_1^2 - 2x_1x_2 - 2x_2^2)$

$V = \frac{\pi h}{6} (3r_1^2 + 3r_2^2 + x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2)$

Выражение $x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2$ является полным квадратом разности $(x_2 - x_1)^2$, что по определению равно квадрату высоты шарового пояса $h^2$.

Окончательно получаем искомую формулу объема шарового пояса:

$V = \frac{\pi h}{6} (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$

Ответ:

Формула объема шарового пояса с высотой $h$ и радиусами оснований $r_1$ и $r_2$ имеет вид: $V = \frac{\pi h}{6} (3r_1^2 + 3r_2^2 + h^2)$.