Страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.25. Ящик для засыпки картофеля имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды (рис. 26.14). Стороны оснований равны соответственно 6 дм и 14,4 дм. Высота пирамиды — 4,3 дм. Найти объем и массу картофеля, который может храниться в ящике, если 1 $\text{дм}^3$ массы клубней весит 0,675 кг.

Рис. 26.14

Дано:

Форма ящика — правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Сторона меньшего основания $a_1 = 6$ дм

Сторона большего основания $a_2 = 14,4$ дм

Высота $h = 4,3$ дм

Плотность картофеля $\rho = 0,675$ кг/дм³

Перевод в систему СИ:

$a_1 = 6 \text{ дм} = 0,6 \text{ м}$

$a_2 = 14,4 \text{ дм} = 1,44 \text{ м}$

$h = 4,3 \text{ дм} = 0,43 \text{ м}$

$\rho = 0,675 \frac{\text{кг}}{\text{дм}^3} = 0,675 \frac{\text{кг}}{(0,1 \text{ м})^3} = 0,675 \frac{\text{кг}}{0,001 \text{ м}^3} = 675 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Объем ящика $V$

Массу картофеля $m$

Решение:

Для удобства проведем вычисления в исходных единицах (дециметрах).

Объем

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота, а $S_1$ и $S_2$ — площади оснований. Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основания — квадраты.

Вычислим площадь меньшего основания $S_1$:

$S_1 = a_1^2 = 6^2 = 36$ дм²

Вычислим площадь большего основания $S_2$:

$S_2 = a_2^2 = (14,4)^2 = 207,36$ дм²

Теперь подставим все значения в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 4,3 \cdot (36 + 207,36 + \sqrt{36 \cdot 207,36})$

Вычислим выражение под корнем:

$\sqrt{36 \cdot 207,36} = \sqrt{7464,96} = 86,4$ дм²

Подставим это значение обратно в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 4,3 \cdot (36 + 207,36 + 86,4)$

$V = \frac{1}{3} \cdot 4,3 \cdot 329,76$

$V = \frac{1417,968}{3} = 472,656$ дм³

Ответ: Объем ящика равен $472,656$ дм³.

Масса

Масса картофеля вычисляется по формуле $m = V \cdot \rho$.

Подставим значения объема $V$ и плотности $\rho$:

$m = 472,656 \text{ дм³} \cdot 0,675 \frac{\text{кг}}{\text{дм³}}$

$m = 319,0428$ кг

Ответ: Масса картофеля, который может храниться в ящике, составляет $319,0428$ кг.

26.26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 1 см, а угол между боковой гранью и основанием равен $45^{\circ}$.

Найдите объем пирамиды.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида

Сторона основания $a = 1$ см

Угол между боковой гранью и основанием $\alpha = 45^{\circ}$

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$. Основание представляет собой правильный шестиугольник, который состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ равна:

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

2. Найдем высоту пирамиды $H$. Угол между боковой гранью и основанием равен углу $\alpha$ в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и апофемой боковой грани.

Апофема основания правильного шестиугольника $r$ (расстояние от центра до середины стороны) равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

При $a=1$ см, $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

В указанном прямоугольном треугольнике катеты — это $H$ и $r$. Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$

Так как $\alpha = 45^{\circ}$, а $\tan(45^{\circ}) = 1$, то $H = r$.

Следовательно, высота пирамиды $H = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$ см$^3$.

Ответ: $0.75$ см$^3$.

26.27. Объем четырехугольной пирамиды $SABCD$ равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем пирамиды, вершинами основания которой являются середины сторон основания $ABCD$, а вершина совпадает с вершиной $S$ данной пирамиды (рис. 26.15).

Рис. 26.15

Дано:

$V_{SABCD} = 1 \text{ см}^3$ — объем четырехугольной пирамиды $SABCD$.
Основанием новой пирамиды является четырехугольник, вершины которого — середины сторон основания $ABCD$.
Вершина новой пирамиды совпадает с вершиной $S$ данной пирамиды.

Найти:

$V_{нов}$ — объем новой пирамиды.

Решение:

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Для исходной пирамиды $SABCD$ объем $V_{SABCD}$ равен: $V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h$.

Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Новая пирамида имеет основание $KLMN$ и вершину $S$. Обозначим ее объем как $V_{SKLMN}$.

Так как вершина $S$ у обеих пирамид общая, а их основания $ABCD$ и $KLMN$ лежат в одной плоскости, то их высоты равны.

Следовательно, отношение объемов этих пирамид равно отношению площадей их оснований: $\frac{V_{SKLMN}}{V_{SABCD}} = \frac{\frac{1}{3} S_{KLMN} \cdot h}{\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h} = \frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}$.

Найдем отношение площадей $S_{KLMN}$ и $S_{ABCD}$. Четырехугольник $KLMN$, образованный соединением середин сторон произвольного четырехугольника $ABCD$, является параллелограммом (теорема Вариньона), и его площадь равна половине площади исходного четырехугольника.

Докажем это. Площадь четырехугольника $ABCD$ можно найти как сумму площадей треугольников $ABC$ и $ADC$. $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}$.

Рассмотрим четырехугольник $KLMN$. Его площадь можно найти, вычитая из площади $S_{ABCD}$ площади четырех угловых треугольников: $\triangle AKN$, $\triangle BKL$, $\triangle CML$ и $\triangle DNM$.

Отрезок $KL$ — средняя линия треугольника $ABC$, поэтому $\triangle BKL$ подобен $\triangle BCA$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $S_{BKL} = (\frac{1}{2})^2 S_{BCA} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

Аналогично, $NM$ — средняя линия треугольника $DCA$, поэтому: $S_{DNM} = \frac{1}{4} S_{DCA} = \frac{1}{4} S_{ADC}$.

Сумма площадей этих двух треугольников: $S_{BKL} + S_{DNM} = \frac{1}{4} S_{ABC} + \frac{1}{4} S_{ADC} = \frac{1}{4} (S_{ABC} + S_{ADC}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Точно так же, рассматривая диагональ $BD$, получим: $S_{AKN} + S_{CML} = \frac{1}{4} S_{ABD} + \frac{1}{4} S_{CBD} = \frac{1}{4} (S_{ABD} + S_{CBD}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Теперь найдем площадь $S_{KLMN}$: $S_{KLMN} = S_{ABCD} - (S_{AKN} + S_{BKL} + S_{CML} + S_{DNM}) = S_{ABCD} - (\frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD}) = S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Таким образом, площадь основания новой пирамиды в 2 раза меньше площади основания исходной.

Теперь можем найти объем новой пирамиды: $V_{SKLMN} = V_{SABCD} \cdot \frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}} = V_{SABCD} \cdot \frac{\frac{1}{2} S_{ABCD}}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2} V_{SABCD}$.

Подставив данное значение $V_{SABCD} = 1 \text{ см}^3$, получаем: $V_{SKLMN} = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0.5 \text{ см}^3$.

Ответ: $0.5 \text{ см}^3$.

26.28. Объем тетраэдра равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер этого тетраэдра.

Дано:

Объем тетраэдра $V_T = 1 \text{ см}^3$.

Найти:

Объем многогранника $V_M$, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

Решение:

Пусть исходный тетраэдр $T$ имеет вершины $A, B, C, D$. Его объем равен $V_T = 1 \text{ см}^3$.

Многогранник, о котором идет речь в задаче, образуется соединением середин ребер исходного тетраэдра. Этот многогранник является октаэдром (восьмигранником). Его объем можно найти, если из объема исходного тетраэдра вычесть объемы четырех малых тетраэдров, которые "отсекаются" от вершин исходного тетраэдра.

Рассмотрим один из таких малых тетраэдров, например, у вершины $A$. Его вершинами будут точка $A$ и середины ребер, выходящих из этой вершины: $M_{AB}, M_{AC}, M_{AD}$. Обозначим этот малый тетраэдр как $T_A$.

Тетраэдр $T_A$ подобен исходному тетраэдру $T$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих ребер. Ребра малого тетраэдра, выходящие из вершины $A$, равны половинам соответствующих ребер большого тетраэдра:

$AM_{AB} = \frac{1}{2}AB$

$AM_{AC} = \frac{1}{2}AC$

$AM_{AD} = \frac{1}{2}AD$

Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия:

$\frac{V_{T_A}}{V_T} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Отсюда объем одного малого тетраэдра равен:

$V_{T_A} = \frac{1}{8}V_T$

Таких малых тетраэдров отсекается четыре, по одному у каждой вершины исходного тетраэдра ($A, B, C, D$). Все они имеют одинаковый объем. Суммарный объем всех отсекаемых тетраэдров $V_{отс}$ равен:

$V_{отс} = 4 \cdot V_{T_A} = 4 \cdot \frac{1}{8}V_T = \frac{1}{2}V_T$

Объем искомого многогранника $V_M$ равен разности объема исходного тетраэдра и суммарного объема отсеченных частей:

$V_M = V_T - V_{отс} = V_T - \frac{1}{2}V_T = \frac{1}{2}V_T$

Подставим известное значение объема исходного тетраэдра $V_T = 1 \text{ см}^3$:

$V_M = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0,5 \text{ см}^3$

Ответ: $0,5 \text{ см}^3$.

26.29. Два противолежащих ребра тетраэдра перпендикулярны и равны 3 см. Расстояние между ними равно 2 см. Найдите объем тетраэдра.

Дано:

Тетраэдр, у которого два противолежащих (скрещивающихся) ребра имеют следующие характеристики:

Длина первого ребра, $a = 3$ см.

Длина второго ребра, $b = 3$ см.

Ребра перпендикулярны, то есть угол между ними $\alpha = 90^\circ$.

Расстояние между этими ребрами, $d = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.03$ м

$b = 0.03$ м

$d = 0.02$ м

Найти:

Объем тетраэдра $V$.

Решение:

Объем тетраэдра можно вычислить по формуле, которая связывает длины двух его скрещивающихся ребер, расстояние между ними и угол между ними:

$V = \frac{1}{6} a b d \sin\alpha$

где $a$ и $b$ — это длины скрещивающихся ребер, $d$ — расстояние между ними (длина их общего перпендикуляра), а $\alpha$ — угол между прямыми, на которых лежат эти ребра.

Эта формула выводится методом сечений (принцип Кавальери). Если расположить общий перпендикуляр ребер вдоль оси $Oz$, а сами ребра в плоскостях $z=0$ и $z=d$, то объем тетраэдра можно найти, проинтегрировав площадь его поперечного сечения $S(z)$ по высоте от $0$ до $d$. Площадь сечения является параллелограммом и равна $S(z) = \left(a \frac{d-z}{d}\right) \left(b \frac{z}{d}\right) \sin\alpha$. Интегрирование этой функции дает указанную выше формулу для объема.

Согласно условию задачи, данные ребра перпендикулярны, это означает, что угол между ними $\alpha = 90^\circ$.

Найдем синус этого угла:

$\sin\alpha = \sin(90^\circ) = 1$

Теперь подставим все известные значения в формулу объема. Для удобства будем использовать исходные единицы измерения (сантиметры), так как они согласованы.

$a = 3$ см

$b = 3$ см

$d = 2$ см

$V = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin(90^\circ)$

$V = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

$V = \frac{18}{6} \text{ см}^3$

$V = 3 \text{ см}^3$

Ответ: $3 \text{ см}^3$.

тетраэдра.

26.30. Два противоположных ребра тетраэдра образуют угол $60^\circ$ и равны 2 см. Расстояние между ними равно 3 см. Найдите объем тетраэдра.

Дано:

Длины противолежащих ребер тетраэдра: $a = 2 \text{ см}$, $b = 2 \text{ см}$

Угол между этими ребрами: $\alpha = 60^\circ$

Расстояние между этими ребрами: $d = 3 \text{ см}$

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$b = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$d = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем тетраэдра $V$.

Решение:

Для решения задачи используется формула для вычисления объема тетраэдра через длины двух его противолежащих (скрещивающихся) ребер, расстояние между ними и угол, который они образуют. Пусть $a$ и $b$ — длины противолежащих ребер, $d$ — кратчайшее расстояние между прямыми, на которых лежат эти ребра, и $\alpha$ — угол между этими прямыми. Объем тетраэдра $V$ вычисляется по следующей формуле:

$V = \frac{1}{6} a \cdot b \cdot d \cdot \sin(\alpha)$

В соответствии с условием задачи, имеем следующие данные:

$a = 2 \text{ см}$

$b = 2 \text{ см}$

$d = 3 \text{ см}$

$\alpha = 60^\circ$

Подставим эти значения в формулу для объема. Расчеты будем производить в сантиметрах для удобства.

$V = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin(60^\circ)$

Сначала вычислим произведение длин ребер и расстояния:

$2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$

Тогда выражение для объема принимает вид:

$V = \frac{1}{6} \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \sin(60^\circ)$

Значение синуса угла $60^\circ$ является табличным:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим это значение в наше выражение:

$V = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сократив на 2, получаем окончательный результат:

$V = \sqrt{3} \text{ см}^3$

Ответ: $\sqrt{3} \text{ см}^3$.

26.31. Плоскость пересекает ребра $SA$, $SB$, $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ в точках $A'$, $B'$, $C'$ соответственно (рис. 26.16), $SA' : SA = k$, $SB' : SB = l$, $SC' : SC = m$. Докажите, что объем пирамиды $SA'B'C'$ равен объему пирамиды $SABC$, умноженному на $k \cdot l \cdot m$. Найдите объем пирамиды $SA'B'C'$, если объем исходной пирамиды равен 1 см3 и $SA' : SA = 1 : 2$, $SB' : SB = 2 : 3$, $SC' : SC = 3 : 4$.

Рис. 26.16

Докажите, что объем пирамиды SA'B'C' равен объему пирамиды SABC, умноженному на k · l · m.

Решение:

Объем произвольной треугольной пирамиды SABC может быть вычислен по формуле с использованием длин трех ребер, выходящих из одной вершины, и синусов углов между ними. Однако, более наглядным является метод, использующий формулу объема через площадь основания и высоту.

Выберем в качестве основания пирамиды SABC грань SBC. Тогда ее объем $V_{SABC}$ можно выразить как:

$V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{SBC} \cdot h_A$

где $S_{SBC}$ — площадь треугольника SBC, а $h_A$ — высота, опущенная из вершины A на плоскость грани SBC.

Площадь треугольника SBC вычисляется по формуле: $S_{SBC} = \frac{1}{2} SB \cdot SC \cdot \sin(\angle BSC)$.

Аналогично, для пирамиды SA'B'C' выберем в качестве основания грань SB'C'. Ее объем $V_{SA'B'C'}$ равен:

$V_{SA'B'C'} = \frac{1}{3} S_{SB'C'} \cdot h_{A'}$

где $S_{SB'C'}$ — площадь треугольника SB'C', а $h_{A'}$ — высота, опущенная из вершины A' на плоскость грани SB'C'.

Поскольку точки B' и C' лежат на ребрах SB и SC, плоскость треугольника SB'C' совпадает с плоскостью треугольника SBC. Также угол $\angle B'SC'$ совпадает с углом $\angle BSC$.

По условию задачи, $SA' : SA = k$, $SB' : SB = l$, $SC' : SC = m$. Это означает, что $SA' = k \cdot SA$, $SB' = l \cdot SB$ и $SC' = m \cdot SC$.

Выразим площадь $S_{SB'C'}$ через $S_{SBC}$:

$S_{SB'C'} = \frac{1}{2} SB' \cdot SC' \cdot \sin(\angle B'SC') = \frac{1}{2} (l \cdot SB) \cdot (m \cdot SC) \cdot \sin(\angle BSC) = l \cdot m \cdot \left(\frac{1}{2} SB \cdot SC \cdot \sin(\angle BSC)\right) = l \cdot m \cdot S_{SBC}$.

Теперь найдем соотношение между высотами $h_A$ и $h_{A'}$. Пусть $\alpha$ — это угол между ребром SA и плоскостью SBC. Высоты, опущенные из точек A и A' (лежащих на одной прямой, проходящей через вершину S) на эту плоскость, можно выразить как:

$h_A = SA \cdot \sin(\alpha)$

$h_{A'} = SA' \cdot \sin(\alpha)$

Разделив второе уравнение на первое, получим отношение высот:

$\frac{h_{A'}}{h_A} = \frac{SA' \cdot \sin(\alpha)}{SA \cdot \sin(\alpha)} = \frac{SA'}{SA} = k$

Отсюда следует, что $h_{A'} = k \cdot h_A$.

Подставим полученные выражения для $S_{SB'C'}$ и $h_{A'}$ в формулу для объема пирамиды $V_{SA'B'C'}$:

$V_{SA'B'C'} = \frac{1}{3} S_{SB'C'} \cdot h_{A'} = \frac{1}{3} (l \cdot m \cdot S_{SBC}) \cdot (k \cdot h_A) = k \cdot l \cdot m \cdot \left(\frac{1}{3} S_{SBC} \cdot h_A\right)$

Так как выражение в скобках равно $V_{SABC}$, окончательно получаем:

$V_{SA'B'C'} = k \cdot l \cdot m \cdot V_{SABC}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Соотношение $V_{SA'B'C'} = V_{SABC} \cdot k \cdot l \cdot m$ доказано.

Найдите объем пирамиды SA'B'C', если объем исходной пирамиды равен 1 см³ и SA' : SA = 1 : 2, SB' : SB = 2 : 3, SC' : SC = 3 : 4.

Дано:
$V_{SABC} = 1 \text{ см}^3$
$SA' : SA = 1 : 2$
$SB' : SB = 2 : 3$
$SC' : SC = 3 : 4$

$V_{SABC} = 1 \text{ см}^3 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:
$V_{SA'B'C'}$

Решение:

Воспользуемся формулой, которая была доказана в первой части задачи:

$V_{SA'B'C'} = V_{SABC} \cdot k \cdot l \cdot m$

Коэффициенты $k$, $l$ и $m$ представляют собой отношения длин ребер:

$k = \frac{SA'}{SA} = \frac{1}{2}$

$l = \frac{SB'}{SB} = \frac{2}{3}$

$m = \frac{SC'}{SC} = \frac{3}{4}$

Подставим числовые значения в формулу:

$V_{SA'B'C'} = 1 \text{ см}^3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Выполним умножение дробей:

$V_{SA'B'C'} = 1 \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \text{ см}^3$

В десятичной форме это $0.25 \text{ см}^3$.

Ответ: $0.25 \text{ см}^3$.