Номер 26.25, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.25. Ящик для засыпки картофеля имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды (рис. 26.14). Стороны оснований равны соответственно 6 дм и 14,4 дм. Высота пирамиды — 4,3 дм. Найти объем и массу картофеля, который может храниться в ящике, если 1 $\text{дм}^3$ массы клубней весит 0,675 кг.

Рис. 26.14

Дано:

Форма ящика — правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Сторона меньшего основания $a_1 = 6$ дм

Сторона большего основания $a_2 = 14,4$ дм

Высота $h = 4,3$ дм

Плотность картофеля $\rho = 0,675$ кг/дм³

Перевод в систему СИ:

$a_1 = 6 \text{ дм} = 0,6 \text{ м}$

$a_2 = 14,4 \text{ дм} = 1,44 \text{ м}$

$h = 4,3 \text{ дм} = 0,43 \text{ м}$

$\rho = 0,675 \frac{\text{кг}}{\text{дм}^3} = 0,675 \frac{\text{кг}}{(0,1 \text{ м})^3} = 0,675 \frac{\text{кг}}{0,001 \text{ м}^3} = 675 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Объем ящика $V$

Массу картофеля $m$

Решение:

Для удобства проведем вычисления в исходных единицах (дециметрах).

Объем

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота, а $S_1$ и $S_2$ — площади оснований. Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основания — квадраты.

Вычислим площадь меньшего основания $S_1$:

$S_1 = a_1^2 = 6^2 = 36$ дм²

Вычислим площадь большего основания $S_2$:

$S_2 = a_2^2 = (14,4)^2 = 207,36$ дм²

Теперь подставим все значения в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 4,3 \cdot (36 + 207,36 + \sqrt{36 \cdot 207,36})$

Вычислим выражение под корнем:

$\sqrt{36 \cdot 207,36} = \sqrt{7464,96} = 86,4$ дм²

Подставим это значение обратно в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 4,3 \cdot (36 + 207,36 + 86,4)$

$V = \frac{1}{3} \cdot 4,3 \cdot 329,76$

$V = \frac{1417,968}{3} = 472,656$ дм³

Ответ: Объем ящика равен $472,656$ дм³.

Масса

Масса картофеля вычисляется по формуле $m = V \cdot \rho$.

Подставим значения объема $V$ и плотности $\rho$:

$m = 472,656 \text{ дм³} \cdot 0,675 \frac{\text{кг}}{\text{дм³}}$

$m = 319,0428$ кг

Ответ: Масса картофеля, который может храниться в ящике, составляет $319,0428$ кг.