Номер 26.22, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.22. Сформулируйте условия на стороны оснований и боковые ребра двух правильных $n$-угольных пирамид, при которых эти пирамиды подобны. Как относятся объемы этих пирамид?

Сформулируйте условия на стороны оснований и боковые ребра двух правильных n-угольных пирамид, при которых эти пирамиды подобны.

Два многогранника называются подобными, если один из них может быть получен из другого преобразованием подобия (гомотетией). Это означает, что все их соответствующие линейные элементы (ребра, высоты, апофемы и т.д.) пропорциональны, а все соответствующие углы (как плоские углы на гранях, так и двугранные углы) равны.

Рассмотрим две правильные n-угольные пирамиды, $P_1$ и $P_2$. Пусть $a_1$ – сторона основания первой пирамиды, а $b_1$ – ее боковое ребро. Аналогично, пусть $a_2$ и $b_2$ – сторона основания и боковое ребро второй пирамиды.

Основаниями обеих пирамид являются правильные n-угольники. Любые два правильных n-угольника подобны друг другу. Коэффициент подобия их оснований равен отношению их сторон, то есть $\frac{a_1}{a_2}$.

Боковые грани правильной n-угольной пирамиды являются равными между собой равнобедренными треугольниками. У первой пирамиды стороны боковой грани равны $b_1, b_1, a_1$. У второй пирамиды – $b_2, b_2, a_2$.

Для того чтобы пирамиды были подобны, необходимо, чтобы их соответствующие многогранные углы были равны, а ребра, исходящие из соответствующих вершин, — пропорциональны. В частности, должны быть подобны их боковые грани, являющиеся равнобедренными треугольниками. Для подобия этих треугольников необходимо, чтобы их соответствующие стороны были пропорциональны с одним и тем же коэффициентом. Это означает, что должно выполняться равенство:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$

Данное условие является и достаточным. Если отношение стороны основания к боковому ребру одинаково для обеих пирамид, то есть $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$, то все треугольники, определяющие геометрию пирамиды (например, сечение, проходящее через высоту и боковое ребро, или сечение, проходящее через высоту и апофему боковой грани), будут подобны для обеих пирамид. Из этого следует равенство всех соответствующих углов и пропорциональность всех соответствующих линейных элементов, то есть подобие самих пирамид.

Ответ: Две правильные n-угольные пирамиды подобны тогда и только тогда, когда их стороны оснований и боковые ребра пропорциональны. Если $a_1$ и $a_2$ – стороны оснований, а $b_1$ и $b_2$ – боковые ребра пирамид, то условие подобия имеет вид: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.

Как относятся объемы этих пирамид?

Отношение объемов двух подобных тел равно кубу коэффициента их подобия. Докажем это для рассматриваемых пирамид.

Пусть коэффициент подобия двух пирамид равен $k$. Из условия подобия, установленного в предыдущем пункте, мы знаем, что $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ – площадь основания, а $H$ – высота пирамиды.

Отношение объемов двух пирамид $V_1$ и $V_2$ равно:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} S_1 \cdot H_1}{\frac{1}{3} S_2 \cdot H_2} = \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{H_1}{H_2}$

Так как основания пирамид – подобные правильные n-угольники с коэффициентом подобия $k$, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_1}{S_2} = (\frac{a_1}{a_2})^2 = k^2$

Высоты пирамид $H_1$ и $H_2$ являются соответствующими линейными элементами, поэтому их отношение также равно коэффициенту подобия:

$\frac{H_1}{H_2} = k$

Подставляя полученные отношения площадей и высот в формулу для отношения объемов, получаем:

$\frac{V_1}{V_2} = k^2 \cdot k = k^3$

Ответ: Отношение объемов двух подобных правильных n-угольных пирамид равно кубу коэффициента их подобия. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению их соответствующих линейных размеров (например, сторон оснований или боковых ребер). Таким образом, $\frac{V_1}{V_2} = (\frac{a_1}{a_2})^3 = (\frac{b_1}{b_2})^3$.