Номер 26.23, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.23. Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса (рис. 26.12) – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 146 м и боковым ребром 230 м. Найдите объем этой пирамиды.

Рис. 26.12

Дано:

Пирамида Хеопса — правильная четырехугольная пирамида.

Высота, $H = 146$ м

Боковое ребро, $L = 230$ м

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

Объем пирамиды, $V$.

Решение:

1. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

2. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна $a$. Тогда площадь основания $S_{осн} = a^2$.

3. Чтобы найти площадь основания, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, половиной диагонали основания $(\frac{d}{2})$ и боковым ребром $L$. В этом треугольнике боковое ребро $L$ является гипотенузой, а $H$ и $\frac{d}{2}$ — катетами. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + (\frac{d}{2})^2$

4. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. Соответственно, половина диагонали равна $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

5. Подставим выражение для половины диагонали в уравнение теоремы Пифагора:

$L^2 = H^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2$

$L^2 = H^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4}$

$L^2 = H^2 + \frac{a^2}{2}$

6. Из этого уравнения выразим $a^2$, что и является площадью основания $S_{осн}$:

$\frac{a^2}{2} = L^2 - H^2$

$a^2 = 2(L^2 - H^2)$

$S_{осн} = 2(L^2 - H^2)$

7. Подставим числовые значения и вычислим площадь основания:

$S_{осн} = 2(230^2 - 146^2) = 2(52900 - 21316) = 2 \cdot 31584 = 63168$ м$^2$.

8. Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 63168 \cdot 146 = 21056 \cdot 146 = 3074176$ м$^3$.

Ответ: объем пирамиды равен $3074176$ м$^3$.