Номер 26.28, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.28. Объем тетраэдра равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер этого тетраэдра.

Дано:

Объем тетраэдра $V_T = 1 \text{ см}^3$.

Найти:

Объем многогранника $V_M$, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.

Решение:

Пусть исходный тетраэдр $T$ имеет вершины $A, B, C, D$. Его объем равен $V_T = 1 \text{ см}^3$.

Многогранник, о котором идет речь в задаче, образуется соединением середин ребер исходного тетраэдра. Этот многогранник является октаэдром (восьмигранником). Его объем можно найти, если из объема исходного тетраэдра вычесть объемы четырех малых тетраэдров, которые "отсекаются" от вершин исходного тетраэдра.

Рассмотрим один из таких малых тетраэдров, например, у вершины $A$. Его вершинами будут точка $A$ и середины ребер, выходящих из этой вершины: $M_{AB}, M_{AC}, M_{AD}$. Обозначим этот малый тетраэдр как $T_A$.

Тетраэдр $T_A$ подобен исходному тетраэдру $T$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих ребер. Ребра малого тетраэдра, выходящие из вершины $A$, равны половинам соответствующих ребер большого тетраэдра:

$AM_{AB} = \frac{1}{2}AB$

$AM_{AC} = \frac{1}{2}AC$

$AM_{AD} = \frac{1}{2}AD$

Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия:

$\frac{V_{T_A}}{V_T} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Отсюда объем одного малого тетраэдра равен:

$V_{T_A} = \frac{1}{8}V_T$

Таких малых тетраэдров отсекается четыре, по одному у каждой вершины исходного тетраэдра ($A, B, C, D$). Все они имеют одинаковый объем. Суммарный объем всех отсекаемых тетраэдров $V_{отс}$ равен:

$V_{отс} = 4 \cdot V_{T_A} = 4 \cdot \frac{1}{8}V_T = \frac{1}{2}V_T$

Объем искомого многогранника $V_M$ равен разности объема исходного тетраэдра и суммарного объема отсеченных частей:

$V_M = V_T - V_{отс} = V_T - \frac{1}{2}V_T = \frac{1}{2}V_T$

Подставим известное значение объема исходного тетраэдра $V_T = 1 \text{ см}^3$:

$V_M = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0,5 \text{ см}^3$

Ответ: $0,5 \text{ см}^3$.