Номер 26.31, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.31. Плоскость пересекает ребра $SA$, $SB$, $SC$ треугольной пирамиды $SABC$ в точках $A'$, $B'$, $C'$ соответственно (рис. 26.16), $SA' : SA = k$, $SB' : SB = l$, $SC' : SC = m$. Докажите, что объем пирамиды $SA'B'C'$ равен объему пирамиды $SABC$, умноженному на $k \cdot l \cdot m$. Найдите объем пирамиды $SA'B'C'$, если объем исходной пирамиды равен 1 см3 и $SA' : SA = 1 : 2$, $SB' : SB = 2 : 3$, $SC' : SC = 3 : 4$.

Рис. 26.16

Докажите, что объем пирамиды SA'B'C' равен объему пирамиды SABC, умноженному на k · l · m.

Решение:

Объем произвольной треугольной пирамиды SABC может быть вычислен по формуле с использованием длин трех ребер, выходящих из одной вершины, и синусов углов между ними. Однако, более наглядным является метод, использующий формулу объема через площадь основания и высоту.

Выберем в качестве основания пирамиды SABC грань SBC. Тогда ее объем $V_{SABC}$ можно выразить как:

$V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{SBC} \cdot h_A$

где $S_{SBC}$ — площадь треугольника SBC, а $h_A$ — высота, опущенная из вершины A на плоскость грани SBC.

Площадь треугольника SBC вычисляется по формуле: $S_{SBC} = \frac{1}{2} SB \cdot SC \cdot \sin(\angle BSC)$.

Аналогично, для пирамиды SA'B'C' выберем в качестве основания грань SB'C'. Ее объем $V_{SA'B'C'}$ равен:

$V_{SA'B'C'} = \frac{1}{3} S_{SB'C'} \cdot h_{A'}$

где $S_{SB'C'}$ — площадь треугольника SB'C', а $h_{A'}$ — высота, опущенная из вершины A' на плоскость грани SB'C'.

Поскольку точки B' и C' лежат на ребрах SB и SC, плоскость треугольника SB'C' совпадает с плоскостью треугольника SBC. Также угол $\angle B'SC'$ совпадает с углом $\angle BSC$.

По условию задачи, $SA' : SA = k$, $SB' : SB = l$, $SC' : SC = m$. Это означает, что $SA' = k \cdot SA$, $SB' = l \cdot SB$ и $SC' = m \cdot SC$.

Выразим площадь $S_{SB'C'}$ через $S_{SBC}$:

$S_{SB'C'} = \frac{1}{2} SB' \cdot SC' \cdot \sin(\angle B'SC') = \frac{1}{2} (l \cdot SB) \cdot (m \cdot SC) \cdot \sin(\angle BSC) = l \cdot m \cdot \left(\frac{1}{2} SB \cdot SC \cdot \sin(\angle BSC)\right) = l \cdot m \cdot S_{SBC}$.

Теперь найдем соотношение между высотами $h_A$ и $h_{A'}$. Пусть $\alpha$ — это угол между ребром SA и плоскостью SBC. Высоты, опущенные из точек A и A' (лежащих на одной прямой, проходящей через вершину S) на эту плоскость, можно выразить как:

$h_A = SA \cdot \sin(\alpha)$

$h_{A'} = SA' \cdot \sin(\alpha)$

Разделив второе уравнение на первое, получим отношение высот:

$\frac{h_{A'}}{h_A} = \frac{SA' \cdot \sin(\alpha)}{SA \cdot \sin(\alpha)} = \frac{SA'}{SA} = k$

Отсюда следует, что $h_{A'} = k \cdot h_A$.

Подставим полученные выражения для $S_{SB'C'}$ и $h_{A'}$ в формулу для объема пирамиды $V_{SA'B'C'}$:

$V_{SA'B'C'} = \frac{1}{3} S_{SB'C'} \cdot h_{A'} = \frac{1}{3} (l \cdot m \cdot S_{SBC}) \cdot (k \cdot h_A) = k \cdot l \cdot m \cdot \left(\frac{1}{3} S_{SBC} \cdot h_A\right)$

Так как выражение в скобках равно $V_{SABC}$, окончательно получаем:

$V_{SA'B'C'} = k \cdot l \cdot m \cdot V_{SABC}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Соотношение $V_{SA'B'C'} = V_{SABC} \cdot k \cdot l \cdot m$ доказано.

Найдите объем пирамиды SA'B'C', если объем исходной пирамиды равен 1 см³ и SA' : SA = 1 : 2, SB' : SB = 2 : 3, SC' : SC = 3 : 4.

Дано:
$V_{SABC} = 1 \text{ см}^3$
$SA' : SA = 1 : 2$
$SB' : SB = 2 : 3$
$SC' : SC = 3 : 4$

$V_{SABC} = 1 \text{ см}^3 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:
$V_{SA'B'C'}$

Решение:

Воспользуемся формулой, которая была доказана в первой части задачи:

$V_{SA'B'C'} = V_{SABC} \cdot k \cdot l \cdot m$

Коэффициенты $k$, $l$ и $m$ представляют собой отношения длин ребер:

$k = \frac{SA'}{SA} = \frac{1}{2}$

$l = \frac{SB'}{SB} = \frac{2}{3}$

$m = \frac{SC'}{SC} = \frac{3}{4}$

Подставим числовые значения в формулу:

$V_{SA'B'C'} = 1 \text{ см}^3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Выполним умножение дробей:

$V_{SA'B'C'} = 1 \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \text{ см}^3$

В десятичной форме это $0.25 \text{ см}^3$.

Ответ: $0.25 \text{ см}^3$.