Номер 26.30, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

тетраэдра.

26.30. Два противоположных ребра тетраэдра образуют угол $60^\circ$ и равны 2 см. Расстояние между ними равно 3 см. Найдите объем тетраэдра.

Дано:

Длины противолежащих ребер тетраэдра: $a = 2 \text{ см}$, $b = 2 \text{ см}$

Угол между этими ребрами: $\alpha = 60^\circ$

Расстояние между этими ребрами: $d = 3 \text{ см}$

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$b = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$d = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Объем тетраэдра $V$.

Решение:

Для решения задачи используется формула для вычисления объема тетраэдра через длины двух его противолежащих (скрещивающихся) ребер, расстояние между ними и угол, который они образуют. Пусть $a$ и $b$ — длины противолежащих ребер, $d$ — кратчайшее расстояние между прямыми, на которых лежат эти ребра, и $\alpha$ — угол между этими прямыми. Объем тетраэдра $V$ вычисляется по следующей формуле:

$V = \frac{1}{6} a \cdot b \cdot d \cdot \sin(\alpha)$

В соответствии с условием задачи, имеем следующие данные:

$a = 2 \text{ см}$

$b = 2 \text{ см}$

$d = 3 \text{ см}$

$\alpha = 60^\circ$

Подставим эти значения в формулу для объема. Расчеты будем производить в сантиметрах для удобства.

$V = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin(60^\circ)$

Сначала вычислим произведение длин ребер и расстояния:

$2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$

Тогда выражение для объема принимает вид:

$V = \frac{1}{6} \cdot 12 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \sin(60^\circ)$

Значение синуса угла $60^\circ$ является табличным:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим это значение в наше выражение:

$V = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сократив на 2, получаем окончательный результат:

$V = \sqrt{3} \text{ см}^3$

Ответ: $\sqrt{3} \text{ см}^3$.