Номер 26.34, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.34. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 26.17) найдите объем общей части двух пирамид $A_1 ABCD$ и $C_1 ABCD$.

Рис. 26.17

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.

Пирамида $P_1$ с вершиной $A_1$ и основанием $ABCD$.

Пирамида $P_2$ с вершиной $C_1$ и основанием $ABCD$.

Найти:

Объем $V$ общей части (пересечения) пирамид $P_1$ и $P_2$.

Решение:

Рассмотрим две заданные пирамиды: $A_1ABCD$ и $C_1ABCD$. Обе пирамиды имеют общее основание — квадрат $ABCD$, который является нижней гранью куба. Площадь этого основания $S_{ABCD} = a^2 = 1^2 = 1$.

Высотой пирамиды $A_1ABCD$ является ребро $A_1A$, перпендикулярное основанию $ABCD$. Длина высоты $H_1 = A_1A = a = 1$.

Высотой пирамиды $C_1ABCD$ является ребро $C_1C$, перпендикулярное основанию $ABCD$. Длина высоты $H_2 = C_1C = a = 1$.

Общей частью (пересечением) двух этих пирамид является новое тело, основанием которого также является квадрат $ABCD$. Найдем вершину этого тела.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $A_1A$. Тогда координаты вершин, необходимых для решения, будут:

$A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $C_1(1,1,1)$.

Тело пересечения является выпуклым. Его вершина будет находиться в точке, принадлежащей обеим пирамидам и максимально удаленной от общего основания. Такая точка лежит на пересечении боковых ребер или граней исходных пирамид.

Рассмотрим пространственные диагонали куба $A_1C$ и $AC_1$. Диагональ $A_1C$ является боковым ребром пирамиды $A_1ABCD$. Диагональ $AC_1$ является боковым ребром пирамиды $C_1ABCD$. Точка пересечения этих диагоналей является центром куба, обозначим ее $M$.

Найдем координаты точки $M$ как середины отрезка $A_1C$ (или $AC_1$):

$M = \left(\frac{0+1}{2}; \frac{0+1}{2}; \frac{1+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

Поскольку точка $M$ принадлежит обеим пирамидам (так как лежит на их боковых ребрах), а основание $ABCD$ у них общее, то тело пересечения представляет собой пирамиду с вершиной в точке $M$ и основанием $ABCD$. Обозначим эту пирамиду $MABCD$.

Вычислим объем пирамиды $MABCD$.

Площадь основания $S_{ABCD}$ — это площадь единичного квадрата, то есть $S_{ABCD} = 1$.

Высота пирамиды $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $M$ на плоскость основания $ABCD$. Плоскость $ABCD$ задается уравнением $z=0$. Координата $z$ точки $M$ равна $\frac{1}{2}$, следовательно, высота $H = \frac{1}{2}$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H$

Подставим наши значения:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

Таким образом, объем общей части двух пирамид равен $\frac{1}{6}$ кубических единиц.

Ответ: $\frac{1}{6}$.