Номер 26.27, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.27. Объем четырехугольной пирамиды $SABCD$ равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем пирамиды, вершинами основания которой являются середины сторон основания $ABCD$, а вершина совпадает с вершиной $S$ данной пирамиды (рис. 26.15).

Рис. 26.15

Дано:

$V_{SABCD} = 1 \text{ см}^3$ — объем четырехугольной пирамиды $SABCD$.
Основанием новой пирамиды является четырехугольник, вершины которого — середины сторон основания $ABCD$.
Вершина новой пирамиды совпадает с вершиной $S$ данной пирамиды.

Найти:

$V_{нов}$ — объем новой пирамиды.

Решение:

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Для исходной пирамиды $SABCD$ объем $V_{SABCD}$ равен: $V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h$.

Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Новая пирамида имеет основание $KLMN$ и вершину $S$. Обозначим ее объем как $V_{SKLMN}$.

Так как вершина $S$ у обеих пирамид общая, а их основания $ABCD$ и $KLMN$ лежат в одной плоскости, то их высоты равны.

Следовательно, отношение объемов этих пирамид равно отношению площадей их оснований: $\frac{V_{SKLMN}}{V_{SABCD}} = \frac{\frac{1}{3} S_{KLMN} \cdot h}{\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h} = \frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}$.

Найдем отношение площадей $S_{KLMN}$ и $S_{ABCD}$. Четырехугольник $KLMN$, образованный соединением середин сторон произвольного четырехугольника $ABCD$, является параллелограммом (теорема Вариньона), и его площадь равна половине площади исходного четырехугольника.

Докажем это. Площадь четырехугольника $ABCD$ можно найти как сумму площадей треугольников $ABC$ и $ADC$. $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}$.

Рассмотрим четырехугольник $KLMN$. Его площадь можно найти, вычитая из площади $S_{ABCD}$ площади четырех угловых треугольников: $\triangle AKN$, $\triangle BKL$, $\triangle CML$ и $\triangle DNM$.

Отрезок $KL$ — средняя линия треугольника $ABC$, поэтому $\triangle BKL$ подобен $\triangle BCA$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $S_{BKL} = (\frac{1}{2})^2 S_{BCA} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

Аналогично, $NM$ — средняя линия треугольника $DCA$, поэтому: $S_{DNM} = \frac{1}{4} S_{DCA} = \frac{1}{4} S_{ADC}$.

Сумма площадей этих двух треугольников: $S_{BKL} + S_{DNM} = \frac{1}{4} S_{ABC} + \frac{1}{4} S_{ADC} = \frac{1}{4} (S_{ABC} + S_{ADC}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Точно так же, рассматривая диагональ $BD$, получим: $S_{AKN} + S_{CML} = \frac{1}{4} S_{ABD} + \frac{1}{4} S_{CBD} = \frac{1}{4} (S_{ABD} + S_{CBD}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Теперь найдем площадь $S_{KLMN}$: $S_{KLMN} = S_{ABCD} - (S_{AKN} + S_{BKL} + S_{CML} + S_{DNM}) = S_{ABCD} - (\frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD}) = S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Таким образом, площадь основания новой пирамиды в 2 раза меньше площади основания исходной.

Теперь можем найти объем новой пирамиды: $V_{SKLMN} = V_{SABCD} \cdot \frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}} = V_{SABCD} \cdot \frac{\frac{1}{2} S_{ABCD}}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2} V_{SABCD}$.

Подставив данное значение $V_{SABCD} = 1 \text{ см}^3$, получаем: $V_{SKLMN} = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0.5 \text{ см}^3$.

Ответ: $0.5 \text{ см}^3$.