Номер 26.20, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26.20. Найдите объем правильной шестиугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 2 см и 1 см, а высота равна 3 см (рис. 26.10).

Рис. 26.10

Дано:

Правильная шестиугольная усеченная пирамида.

Сторона нижнего основания, $a = 2 \text{ см}$.

Сторона верхнего основания, $b = 1 \text{ см}$.

Высота, $h = 3 \text{ см}$.

Найти:

Объем усеченной пирамиды, $V$.

Решение:

Объем усеченной пирамиды находится по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $h$ — высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади ее оснований.

В основаниях данной пирамиды лежат правильные шестиугольники. Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ можно вычислить по формуле:

$S_{шест.} = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$

1. Вычислим площадь нижнего (большего) основания $S_1$, сторона которого $a = 2 \text{ см}$:

$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Вычислим площадь верхнего (меньшего) основания $S_2$, сторона которого $b = 1 \text{ см}$:

$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

3. Найдем значение выражения $\sqrt{S_1 S_2}$:

$\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{6\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{18 \cdot (\sqrt{3})^2}{2}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 3}{2}} = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \text{ см}^2$.

4. Подставим все найденные значения в формулу для вычисления объема усеченной пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \left(6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3}\right)$

Упростим полученное выражение:

$V = 1 \cdot \left((6\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = 9\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

$V = \frac{2 \cdot 9\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{18\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{21\sqrt{3}}{2} \text{ см}^3$.

Ответ: $V = \frac{21\sqrt{3}}{2} \text{ см}^3$.